Question

Пару соседних цифр в многозначном числе назовем хорошей, если при их перестановке число увеличивается. Какое наибольшее количество цифр может быть в многозначном числе, если известно, что все пары соседних цифр в нём, кроме двух пар, хорошие?

Answer 1

11 цифр могут быть: 10223456789.
При перестановке 1 и 0 число уменьшается.
При перестановке 2 и 2 остается прежним.
При перестановке любых других цифр оно увеличивается.

Answer 2

Предположим, что наше многозначное число состоит из n цифр, где n - наибольшее количество цифр.

Условие гласит, что все пары соседних цифр, кроме двух пар, являются хорошими. Это означает, что только две пары соседних цифр надо переставить, чтобы получить максимальное число.

Давайте рассмотрим случай, когда у нас имеется только две цифры: a и b. Если число состоит только из этих двух цифр, то оно будет максимальным, если a - это первая цифра, и b - это вторая цифра.

Теперь предположим, что у нас есть три цифры: a, b и c. Чтобы число было максимальным, a должно быть первой цифрой, и c - последней. Таким образом, b должно быть средней цифрой.

Продолжая эту логику, можно увидеть, что для n цифр максимальное число получится, если цифры расположены в порядке убывания. То есть, первая цифра будет самой большой, последняя - самой маленькой, а все остальные цифры будут расположены между ними в убывающем порядке.

Таким образом, наибольшее количество цифр (n) будет равно 10, и число будет иметь следующий вид: 9876543210.

Проверка:

• Переставляем 9 и 8: 8976543210 - число увеличивается.
• Переставляем 8 и 7: 9876543210 - число увеличивается.

Все другие перестановки уже не будут увеличивать число.