Question

Помогите пожалуйста с дифференциальным уравнением (полное решение) 1) y^2+y'=1 и еще 2) y'+ числитель x^2+y^2 / знаменатель xy =0

Answer 1

1) Дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, ДУ с разделяющимися переменными.

$y'=1-y^2\\ \\ \displaystyle \int \frac{dy}{1-y^2}=\int dx \\ \\ \frac{1}{2} \ln\bigg| \frac{1+y}{1-y} \bigg|=x+C$

Получили общий интеграл.

2)  $y'+ \dfrac{x^2+y^2}{xy}=0$

Это однородное дифференциальное уравнение..

Введём замену  $y=ux$, тогда по правилу дифференцирования произведения двух функций:  $y'=u'x+u$

$u'x+u+ \dfrac{x^2+u^2x^2}{ux^2} =0\\ \\ u'x+ \dfrac{2u^2+1}{u}=0$

имеем теперь дело с ДУ с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \int \frac{udu}{2u^2+1} =\int- \frac{dx}{x} \\ \\ \frac{1}{4} \ln(2y^2+1)=\ln\bigg| \frac{C}{x} \bigg|\\ \\ x\sqrt[4]{2y^2+1} =C$

Answer 2

Давайте решим оба дифференциальных уравнения.

1. y^2 + y' = 1

Для начала заметим, что это уравнение можно представить в виде уравнения Бернулли, поделив обе части на y^2:

y^2/y^2 + y'/y^2 = 1/y^2

Теперь введем замену переменной: z = 1/y. Тогда y' = -z^2.

Подставим z и y' в уравнение:

-z^2 = 1/z^2

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной z. Умножим обе части на z^2:

-z^4 = 1

Теперь перенесем все члены в одну сторону:

z^4 + 1 = 0

Теперь можем найти корни этого уравнения:

z^4 = -1

z = ±sqrt(-1)

Так как нет действительных чисел, которые при возведении в четвертую степень дают -1, уравнение не имеет решений.

2. y' + (x^2 + y^2) / (xy) = 0

Для начала упростим выражение (x^2 + y^2) / (xy). Заметим, что:

(x^2 + y^2) / (xy) = x/y + y/x

Теперь наше уравнение можно записать в виде:

y' + x/y + y/x = 0

Для дальнейшего решения сделаем замену переменной: u = y/x. Тогда y' = u + xu'.

Подставим это в уравнение:

u + xu' + u = 0

Теперь сгруппируем члены с u и u':

u + u + xu' = 0

2u + xu' = 0

Теперь разделим на x:

2u/x + u' = 0

Теперь это стандартное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Найдем его решение:

u' = -2u/x

u' / u = -2/x

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1/u) du = -2 ∫(1/x) dx

ln|u| = -2 ln|x| + C

где C - константа интегрирования.

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

|u| = e^(-2 ln|x| + C)

|u| = e^(ln|x^(-2)) + C

|u| = e^(ln(1/x^2)) + C

|u| = |1/x^2| + C

Теперь учтем, что u = y/x:

|y/x| = |1/x^2| + C

Теперь рассмотрим два случая:

1. x ≠ 0:

|y|/|x| = 1/x^2 + C

Теперь уберем модули, так как C - произвольная константа, а x ≠ 0:

y/x = 1/x^2 + C

y = (1/x^2 + C)x

y = x^(-2) + Cx

2. x = 0:

При x = 0 у нашего уравнения нет смысла, так как исходное уравнение не определено в этой точке.

Таким образом, получили общее решение уравнения y' + (x^2 + y^2) / (xy) = 0:

y = x^(-2) + Cx

где C - произвольная константа.