Question

1. Представьте число 12 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшим 2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f (х) = ⅓х³ - 4х, х є [0,3]

Answer 1

1) Одно число равно x, второе 12 - x. Функция суммы их квадратов
F(x) = x^2 + (12 - x)^2 = x^2 + 144 - 24x + x^2 = 2x^2 - 24x + 144
Значение этой функции будет наименьшим в точке, где F ' (x) = 0.
F ' (x) = 4x - 24 = 4(x - 6) = 0
x = 6, 12 - x = 6, F(x) = 6^2 + 6^2 = 72

2) f (x) = x^3/3 - 4x; x ∈ [0; 3]
Значения на концах отрезка:
f (0) = 0; f (3) = 3^3/3 - 4*3 = 9 - 12 = -3
Экстремумы: f ' (x) = x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) = 0
x1 = -2 - не принадлежит промежутку [0; 3]
x2 = 2; f (2) = 2^3/3 - 4*2 = 8/3 - 8 = (8 - 24)/3 = -16/3 - минимум.
Ответ: наибольшее значение f (0) = 0, наименьшее f (2) = -16/3

Answer 2

1. Чтобы представить число 12 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшим, нужно разделить число 12 на два равных числа, то есть 12/2 = 6. Таким образом, мы можем представить число 12 в виде суммы двух чисел: 6 и 6.

Теперь проверим, что сумма их квадратов минимальна: Сумма квадратов = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72.

2. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = (1/3)x^3 - 4x на интервале х ∈ [0, 3], нужно:

a. Найти критические точки, где производная функции равна нулю или не существует. b. Оценить значения функции в этих критических точках и на концах интервала.

a. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx [(1/3)x^3 - 4x] = x^2 - 4.

Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: x^2 - 4 = 0 x^2 = 4 x = ±2.

b. Оценим значения функции в найденных критических точках и на концах интервала [0, 3]:

• Подставим x = 0: f(0) = (1/3)0^3 - 40 = 0 - 0 = 0.

• Подставим x = 2: f(2) = (1/3)2^3 - 42 = (1/3)*8 - 8 = 8/3 - 8 = -16/3.

• Подставим x = 3: f(3) = (1/3)3^3 - 43 = (1/3)*27 - 12 = 9 - 12 = -3.

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на интервале [0, 3] равно -16/3 и достигается при x = 2, а наибольшее значение функции равно 0 и достигается при x = 0.