Question

Докажите, что если в числе 5*2*3*0*6*2*70821*0*320*2*56 вместо звездочек вписать в любом порядке цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то полученное число будет без остатка делиться на 396.

Answer 1

РЕШЕНИЕ
Сумма цифр делителя = 396 = 9
Сумма всех цифр числа со звёздочками = 54 = 9.
Сумма цифр добавляемых = 45 = 9.
Сумма цифр нового числа (уже без звёздочек) - тоже = 9 и это не зависит где мы поставим эти цифры вместо звездочек..
Признак делимости на 9 - сумма цифр числа должна быть кратна 9.
Делаем вывод, что число делится без остатка.

Примерно такое доказательство. Надо оформить.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нужно показать, что любое число, которое можно получить, переставляя цифры в числе 523062708210320256, делится на 396 без остатка.

Давайте разложим 396 на простые множители: 396 = 2^2 * 3^2 * 11

Теперь давайте посмотрим на числовую запись 523062708210320256: 5 * 2 * 3 * 0 * 6 * 2 * 7 * 0 * 8 * 2 * 1 * 0 * 3 * 2 * 0 * 2 * 5 * 6

Заметим, что все простые множители числа 396 (2, 3 и 11) присутствуют в этом числе. Осталось показать, что сумма всех цифр в этом числе также делится на 3, и последние две цифры образуют число, которое делится на 4 (так как 4 - это еще один множитель числа 396).

Сумма всех цифр: 5 + 2 + 3 + 0 + 6 + 2 + 7 + 0 + 8 + 2 + 1 + 0 + 3 + 2 + 0 + 2 + 5 + 6 = 52

Так как 52 делится на 4 без остатка, то последние две цифры (5 и 6) образуют число, которое делится на 4.

Теперь проверим делится ли сумма всех цифр на 3: 52 = 5 + 2 = 7 7 не делится на 3, но давайте вспомним, что в числе есть две нулевые цифры. Если мы разместим эти нули рядом, получим число 700, которое делится на 3 без остатка.

Таким образом, исходное число 523062708210320256 делится на 2^2 * 3^2 * 11 = 396 без остатка при любой перестановке цифр, и, следовательно, все полученные числа также будут делиться на 396 без остатка.