Question

Иван записал в тетради 200 чисел и вычислил сумму их квадратов. Алексей увеличил каждое из чисел на единицу и посчитал сумму квадратов новых чисел. Оказалось, что суммы квадратов, найденные Иваном и Алексеем, равны. Затем Иван ещё раз увеличил каждое из чисел на единицу и снова вычислил сумму квадратов. Определите, на сколько она изменилась на этот раз. ............... Помогите пожалуйста ))

Answer 1

Оно изменилось на 200 чисел

Answer 2

Давайте разберемся с данной задачей.

1. Иван записал 200 чисел и вычислил сумму их квадратов.
2. Алексей увеличил каждое из чисел на единицу и вычислил сумму квадратов новых чисел, которая оказалась равна сумме квадратов чисел Ивана.

Теперь давайте рассмотрим, что произойдет, когда Иван еще раз увеличит каждое число на единицу и вычислит сумму квадратов новых чисел.

Пусть исходные числа Ивана обозначим как a₁, a₂, ..., a₂₀₀.

Известно, что сумма квадратов чисел Ивана равна: S₁ = a₁² + a₂² + ... + a₂₀₀²

Алексей увеличил каждое число на единицу, поэтому новые числа Алексея будут: b₁ = a₁ + 1, b₂ = a₂ + 1, ..., b₂₀₀ = a₂₀₀ + 1.

Сумма квадратов новых чисел Алексея: S₂ = b₁² + b₂² + ... + b₂₀₀² S₂ = (a₁ + 1)² + (a₂ + 1)² + ... + (a₂₀₀ + 1)² S₂ = a₁² + 2a₁ + 1 + a₂² + 2a₂ + 1 + ... + a₂₀₀² + 2a₂₀₀ + 1 S₂ = (a₁² + a₂² + ... + a₂₀₀²) + 2(a₁ + a₂ + ... + a₂₀₀) + 200

Так как суммы квадратов чисел Ивана и Алексея равны, то S₁ = S₂: S₁ = S₂ a₁² + a₂² + ... + a₂₀₀² = (a₁² + a₂² + ... + a₂₀₀²) + 2(a₁ + a₂ + ... + a₂₀₀) + 200

Отсюда получаем: 2(a₁ + a₂ + ... + a₂₀₀) = 200

Теперь мы знаем, что сумма чисел Ивана равна 100. (Так как 200 делится на 2, и сумма 200 чисел равна 200/2 = 100).

Теперь Иван увеличивает каждое число на единицу еще раз и вычисляет сумму квадратов новых чисел:

Новые числа Ивана: c₁ = a₁ + 2, c₂ = a₂ + 2, ..., c₂₀₀ = a₂₀₀ + 2.

Сумма квадратов новых чисел Ивана: S₃ = c₁² + c₂² + ... + c₂₀₀² S₃ = (a₁ + 2)² + (a₂ + 2)² + ... + (a₂₀₀ + 2)² S₃ = a₁² + 4a₁ + 4 + a₂² + 4a₂ + 4 + ... + a₂₀₀² + 4a₂₀₀ + 4 S₃ = (a₁² + a₂² + ... + a₂₀₀²) + 4(a₁ + a₂ + ... + a₂₀₀) + 4 * 200

Так как сумма квадратов чисел Ивана увеличилась на S₃ - S₁: S₃ - S₁ = 4(a₁ + a₂ + ... + a₂₀₀) + 4 * 200

Мы уже знаем, что сумма чисел Ивана равна 100, поэтому: S₃ - S₁ = 4 * 100 + 4 * 200 S₃ - S₁ = 400 + 800 S₃ - S₁ = 1200

Ответ: Сумма квадратов новых чисел Ивана увеличилась на 1200.