Question

Мистер Фокс записал в тетради 200 чисел и вычислил сумму их квадратов. Мистер Форд увеличил каждое из чисел на единицу и посчитал сумму квадратов новых чисел. Оказалось, что суммы квадратов, найденные Фоксом и Фордом, равны. Затем Мистер Фокс ещё раз увеличил каждое из чисел на единицу и снова вычислил сумму квадратов. Определите, на сколько она изменилась на этот раз.

Answer 1

Разобьем записанные 200 чисел на пары. Заметим, что условие равенства суммы квадратов всех изначальных чисел и чисел, увеличенных Мистером Фордом на единицу, может соблюдаться только в том случае, если изначальные пары чисел выглядят следующим образом (a, -(a+1)), (b, -(b+1)) и т. д., где a ≥ 0, b  ≥ 0. После увеличения чисел на единицу, мы получим соответственно пары ((a+1), -a), ((b+1), -b) и т. д. Тогда суммы их квадратов будут одинаковыми, т. к. a^2 + (-(a+1))^2 = a^2 + a^2 + 2a + 1 = 2a^2 + 2a + 1 и (a+1)^2 + (-(a))^2 = 2a^2 + 2a +1. После того, как Мистер Фокс еще раз увеличил каждое число на единицу, были получены числа ((a+2), (1-a)), ((b+2). (1-b)) и т. д. Тогда суммы квадратов каждой пары будет (a+2)^2 + (1-a)^2 = a^2 + 4a + 4 + 1 - 2a + a^2 = 2a^2 + 2a + 5. Т. е. разность 2a^2 + 2a + 5 - 2a^2 - 2a - 1 = 4. Т. о. сумма квадратов каждой пары станет больше исходной на 4. Т. к. 200/2 = 100, то у нас будет 100 таких пар, следовательно Конечная сумма квадратов станет на 400 больше исходной.

Ответ: На 400.

Answer 2

Пусть исходные числа, записанные Мистером Фоксом, обозначим как x₁, x₂, ..., x₂₀₀.

Сумма квадратов исходных чисел, вычисленная Мистером Фоксом, равна: S₁ = x₁² + x₂² + ... + x₂₀₀²

Мистер Форд увеличил каждое число на единицу, поэтому новые числа равны x₁ + 1, x₂ + 1, ..., x₂₀₀ + 1.

Сумма квадратов новых чисел, вычисленная Мистером Фордом, равна: S₂ = (x₁ + 1)² + (x₂ + 1)² + ... + (x₂₀₀ + 1)² = x₁² + 2x₁ + 1 + x₂² + 2x₂ + 1 + ... + x₂₀₀² + 2x₂₀₀ + 1 = (x₁² + x₂² + ... + x₂₀₀²) + 2(x₁ + x₂ + ... + x₂₀₀) + 200 = S₁ + 2(x₁ + x₂ + ... + x₂₀₀) + 200

Поскольку суммы квадратов, найденные Фоксом и Фордом, равны, то: S₁ = S₂ S₁ + 2(x₁ + x₂ + ... + x₂₀₀) + 200 = S₁

Упрощаем выражение: 2(x₁ + x₂ + ... + x₂₀₀) + 200 = 0 2(x₁ + x₂ + ... + x₂₀₀) = -200 x₁ + x₂ + ... + x₂₀₀ = -100

Мистер Фокс ещё раз увеличил каждое число на единицу, поэтому новые числа равны (x₁ + 1) + 1, (x₂ + 1) + 1, ..., (x₂₀₀ + 1) + 1.

Сумма квадратов этих чисел равна: S₃ = [(x₁ + 1) + 1]² + [(x₂ + 1) + 1]² + ... + [(x₂₀₀ + 1) + 1]² = (x₁ + 2)² + (x₂ + 2)² + ... + (x₂₀₀ + 2)² = x₁² + 4x₁ + 4 + x₂² + 4x₂ + 4 + ... + x₂₀₀² + 4x₂₀₀ + 4 = (x₁² + x₂² + ... + x₂₀₀²) + 4(x₁ + x₂ + ... + x₂₀₀) + 4(200) = S₁ + 4(x₁ + x₂ + ... + x₂₀₀) + 800

Мы знаем, что x₁ + x₂ + ... + x₂₀₀ = -100, поэтому: S₃ = S₁ + 4(-100) + 800