Question

Уникум выписал все двухзначные числа, а затем посчитал две суммы. Для подсчета первой суммы он вычислил в каждом двузначном числе произведение его цифр, а затем сложил все полученные произведения. Для подсчета второй суммы он вычислил в каждом двузначном числе сумму его цифр, а затем сложил все полученные суммы. Чему равна разность двух найденных сум

Answer 1

Все это можно сделать напрямую.
Сумма произведений.
1*0=2*0=...=9*0=0
1*1=1, 1*2=2, ..., 1*9=9
2*1=2, 2*2=4, ..., 2*9=18
...
9*1=9, 9*2=18, ..., 9*9=81
Сумма равна
0+1*45+2*45+...+9*45=
=45*(1+2+...+9)=45*45=2025
Сумма сумм.
1+0+1+1+1+2+...+1+9=10+45
2+0+2+1+2+2+...+2+9=20+45
...
9+0+9+1+0+2+...+9+9=90+45
Сумма равна
10+45+20+45+30+45+...+90+45=
=45*9+(10+20+30+...+90)=
=45*9+45*10=45*19=855.
Разность этих сумм
2025-855=1170

Answer 2

Уникум выписал все двухзначные числа, т.е. числа от 10 до 99 включительно.

Для подсчета первой суммы он вычислил произведение цифр каждого числа, т.е. для числа $ab$ он вычислил произведение $a\cdot b$, где $a$ и $b$ - цифры числа $ab$. Затем он сложил все полученные произведения.

Для подсчета второй суммы он вычислил сумму цифр каждого числа, т.е. для числа $ab$ он вычислил сумму $a+b$. Затем он сложил все полученные суммы.

Чтобы найти разность двух найденных сумм, нам нужно вычесть вторую сумму из первой:

Сумма произведений цифр - $\sum\limits_{i=1}^{9}\sum\limits_{j=0}^{9}ij=1\cdot0+1\cdot1+1\cdot2+\cdots+9\cdot9$

Сумма цифр - $\sum\limits_{i=1}^{9}\sum\limits_{j=0}^{9}(i+j)=1+2+3+\cdots+18$

Чтобы вычислить эти суммы, мы можем воспользоваться формулами для сумм арифметических прогрессий:

$\sum\limits_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum\limits_{i=1}^{n}i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Для первой суммы, мы можем представить ее как:

$\sum\limits_{i=1}^{9}\sum\limits_{j=0}^{9}ij = \sum\limits_{i=1}^{9}i\sum\limits_{j=0}^{9}j = \left(\sum\limits_{i=1}^{9}i\right)\left(\sum\limits_{j=0}^{9}j\right) = \left(\frac{9\cdot10}{2}\right)\left(\frac{9\cdot10}{2}\right) = 2025$

Для второй суммы, мы можем представить ее как:

$\sum\limits_{i=1}^{9}\sum\limits_{j=0}^{9}(i+j) = \sum\limits_{i=1}^{9}i\sum\limits_{j=0}^{9}1 + \sum\limits_{j=0}^{9}j\sum\limits_{i=1}^{9}1 = 10\sum\limits_{i=1}^{9}i + 10\sum\limits_{j=0}^{9}j = 10\cdot\frac{9\cdot10}{2}+10\cdot\frac{9\cdot10}{2}= 900$

Теперь мы можем вычислить разность двух найденных сумм