Question

Помогите,пожалуйста.Даю 30 баллов. Решить неопределённый интеграл (sin^4)2xcos2xdx

Answer 1

$\int sin^42x\cdot cos2x\, dx=[\, t=sin2x\; ,\; dt=2cos2x\, dx\, ]=\\\\=\frac{1}{2}\int t^4\cdot dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^5}{5}+C= \frac{1}{10}\cdot sin^52x+C$

Answer 2

$\large \int sin^42xcos2xdx=\frac{1}{2}\int sin^4x2xd(sin2x)=\frac{sin^52x}{10}+C$

Answer 3

Конечно, я помогу решить данный интеграл.

Для решения данного интеграла, воспользуемся методом замены переменных. Предлагаю ввести новую переменную: u = sin(2x).

Тогда необходимо выразить dx через du. Для этого возьмем производную от u по x:

du/dx = d/dx (sin(2x)) = 2*cos(2x).

Теперь выразим dx:

dx = du / (2*cos(2x)).

Теперь заменим переменные в исходном интеграле:

∫ (sin^4(2x)cos(2x)) dx = ∫ (sin^4(u) * cos(2x)) * (du / (2cos(2x))) = 1/2 * ∫ (sin^4(u)) du.

Теперь мы имеем интеграл от степени sin(u), который можно легко решить. Для этого воспользуемся формулой для степени sin(x):

sin^4(x) = (3 - 4*sin^2(x) + sin^4(x))/8.

Теперь подставим эту формулу в наш интеграл:

1/2 * ∫ (sin^4(u)) du = 1/2 * ∫ ((3 - 4*sin^2(u) + sin^4(u))/8) du = 1/2 * (3/8 * ∫ du - 4/8 * ∫ (sin^2(u)) du + 1/8 * ∫ (sin^4(u)) du).

Первый и последний интегралы просто дают u и (1/2)*(3u - sin(2u)), соответственно:

1/2 * (3/8 * ∫ du - 4/8 * ∫ (sin^2(u)) du + 1/8 * ∫ (sin^4(u)) du) = 1/2 * (3/8 * u - 4/8 * ∫ (1 - cos(2u))/2 du + 1/8 * (1/2)*(3u - sin(2u))) = 1/2 * (3/8 * u - 2/8 * ∫ (1 - cos(2u)) du + 1/16 * (3u - sin(2u))) = 1/2 * (3/8 * u - 2/8 * (u - 1/2 * sin(2u)) + 1/16 * (3u - sin(2u))) = 1/2 * (3/8 * u - 2/8 * u + 1/4 * sin(2u) + 3/16 * u - 1/16 * sin(2u)) = 1/2 * (3/8 * u - 2/8 * u + 3/16 * u) + 1/2 * 1/4 * sin(2u) - 1/2 * 1/16 * sin(2u) = 1/2 * (3/8 - 2/8 + 3/16) * u + 1/8 * sin(2u).

Теперь заменим обратно переменную u на sin(2x):

= 1/2 * (3/8 - 2/8 + 3/16) * sin(2x) + 1/8 * sin(2* sin(2x)) + C = 1/2 * (3/8 - 1/8) * sin(2x) + 1/8 * sin(2* sin(2x)) + C = 1/2 * (1/4) * sin(2x) + 1/8 * sin(2* sin(2x)) + C = 1/8 * sin(2x) + 1/8 * sin(2* sin(2x)) + C.

Таким образом, окончательное решение неопределенного интеграла:

∫ (sin^4(2x)cos(2x)) dx = 1/8 * sin(2x) + 1/8 * sin(2 sin(2x)) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.