Question

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y=y0(нулевое) при x=x0(нулевое): y`-3*x^2*y=e^(2x+x^3), y(0)=0

Answer 1

$y'-3x^2y=e^{2x+x^3} \\ y=uv; y'=u'v+uv' \\ u'v+uv'-3x^2uv=e^{2x+x^3} \\ \left \{ {{v'-3x^2v=0} \atop {u'v=e^{2x+x^3}}} \right. \\ \frac{dv}{dx} =3x^2v \\ \frac{dv}{v}=3x^2dx \\ lnv=x^3 \\ v=e^{x^3} \\ u'e^{x^3}=e^{2x+x^3} \\ \frac{du}{dx}=e^{2x} \\ du=e^{2x}dx \\ du= \frac{1}{2} e^{2x}d(2x) \\ u=\frac{1}{2} e^{2x}+C \\ y=uv=\frac{1}{2} e^{2x+x^3} +Ce^{x^3} \\\\ \frac{1}{2} e^{2*0+0^3} +Ce^{0^3} =0 \\ \frac{1}{2}+C=0 \\ C=-\frac{1}{2} \\\\ y=\frac{1}{2} e^{2x+x^3} - \frac{1}{2} e^{x^3}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение имеет вид:

y' - 3x^2y = e^(2x + x^3).

Для решения этого уравнения воспользуемся методом вариации постоянной. Предположим, что общее решение может быть записано в виде:

y(x) = C(x) * y_p(x),

где C(x) - функция, зависящая от x, а y_p(x) - частное решение дифференциального уравнения.

Найдем частное решение уравнения:

y_p(x) = e^(2x + x^3).

Теперь возьмем производную частного решения:

y'_p(x) = d/dx (e^(2x + x^3)).

Для нахождения производной сложной функции вида e^(g(x)), применим правило цепочки:

(d/dx) e^(g(x)) = e^(g(x)) * g'(x).

В нашем случае, g(x) = 2x + x^3, а g'(x) = 2 + 3x^2.

Таким образом,

y'_p(x) = e^(2x + x^3) * (2 + 3x^2).

Теперь подставим y(x) и y'_p(x) в исходное дифференциальное уравнение:

C(x) * e^(2x + x^3) * (2 + 3x^2) - 3x^2 * C(x) * e^(2x + x^3) = e^(2x + x^3).

Сокращаем общий множитель e^(2x + x^3):

C(x) * (2 + 3x^2) - 3x^2 * C(x) = 1.

Теперь факторизуем выражение:

C(x) * (2 + 3x^2 - 3x^2) = 1,

C(x) * 2 = 1.

Следовательно,

C(x) = 1/2.

Таким образом, частное решение уравнения:

y_p(x) = e^(2x + x^3),

а функция C(x):

C(x) = 1/2.

Теперь найдем общее решение уравнения, используя начальное условие y(0) = 0:

y(x) = C(x) * y_p(x) = (1/2) * e^(2x + x^3).

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

y(x) = (1/2) * e^(2x + x^3).