Question

В треугольнике ABC AC=BC AB=16, cosA=4/5. Найдите AC и Площадь треугольника

Answer 1

S = 1/2 * а * h 

Треугольник равнобедренный, АС = СВ, основание АВ = 16, из вершины С опущена высота СН, она является и медианой,делит АВ на две одинаковые части. То есть АН = НВ = 8

cos А = АН/АС
4/5 = 8/АВ
АВ = 8 * 5 /4 = 10

Треугольник АНС - прямоугольный и если катет АН=8 и гипотенуза 
 АС = 10, то другой катет будет 6  ( треугольник со сторонами 6,8,10)

То есть СН = 6

S = 1/2 * 16 * 6 = 48

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся теоремой косинусов и формулой площади треугольника.

Теорема косинусов: В треугольнике со сторонами a, b и c и углом α против стороны c, косинус угла α вычисляется следующим образом:

cos(α) = (b² + c² - a²) / (2 * b * c)

Из условия дано, что cos(A) = 4/5, а также AB = 16 и AC = BC.

Теперь найдем сторону AC (которая также равна BC) и площадь треугольника ABC.

1. Найдем AC: Используем теорему косинусов для треугольника ABC: cos(A) = (BC² + AC² - AB²) / (2 * BC * AC)

Подставляем известные значения: 4/5 = (BC² + AC² - 16²) / (2 * BC * AC)

Так как AC = BC, обозначим общую длину стороны как x: 4/5 = (x² + x² - 16²) / (2 * x * x)

Упростим уравнение: 4/5 = (2x² - 256) / (2x²) 4x² = 10 * (2x² - 256) 4x² = 20x² - 2560 16x² = 2560 x² = 160

Таким образом, x = √160 ≈ 12.65 (поскольку сторона не может быть отрицательной, игнорируем отрицательный корень).

2. Найдем площадь треугольника ABC: Площадь треугольника можно найти с помощью формулы Герона: S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

где p - полупериметр треугольника, a, b и c - длины сторон.

Для нашего треугольника, p = (AB + AC + BC) / 2 = (16 + 12.65 + 12.65) / 2 ≈ 20.65

Теперь подставим все известные значения и найдем S: S = √(20.65 * (20.65 - 16) * (20.65 - 12.65) * (20.65 - 12.65)) ≈ √(20.65 * 4.65 * 8 * 8) ≈ √(768.768) ≈ 27.7

Таким образом, длина стороны AC (и BC) равна примерно 12.65, а площадь треугольника ABC составляет примерно 27.7 квадратных единиц.