Question

Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме: 2 + 2 i; -3 – 2i. Помогите пожалуйста

Answer 1

1)  $r= \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8}$
$2+2i = \sqrt{8} (cos( \frac{ \pi }{4}) +isin( \frac{ \pi }{4} ))$

2)  $r = \sqrt{(-3)^2+(-2)^2 }= \sqrt{13}$
$cos \alpha = \frac{-3}{ \sqrt{13} } \ \ \ \ \ \alpha = arccos( \frac{-3}{ \sqrt{13} } )$
$-3-2i = \sqrt{13} (cos( arccos ( \frac{-3}{ \sqrt{13}})+isin(arccos( \frac{-3}{ \sqrt{13}})))$

Answer 2

Для записи комплексного числа в стандартной тригонометрической форме, нам необходимо выразить его в виде $r(\cos\theta + i\sin\theta)$, где $r$ - модуль комплексного числа, а $\theta$ - его аргумент.

1. Комплексное число $2 + 2i$:

Сначала найдем модуль $r$ комплексного числа $2 + 2i$:

$r = |2 + 2i| = \sqrt{\text{Re}(2 + 2i)^2 + \text{Im}(2 + 2i)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Теперь найдем аргумент $\theta$ комплексного числа $2 + 2i$:

$\theta = \arctan\left(\frac{\text{Im}(2 + 2i)}{\text{Re}(2 + 2i)}\right) = \arctan\left(\frac{2}{2}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

Таким образом, комплексное число $2 + 2i$ в стандартной тригонометрической форме будет:

$2 + 2i = 2\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$

2. Комплексное число $-3 - 2i$:

Аналогично, найдем модуль $r$ комплексного числа $-3 - 2i$:

$r = |-3 - 2i| = \sqrt{\text{Re}(-3 - 2i)^2 + \text{Im}(-3 - 2i)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}$

Теперь найдем аргумент $\theta$ комплексного числа $-3 - 2i$:

$\theta = \arctan\left(\frac{\text{Im}(-3 - 2i)}{\text{Re}(-3 - 2i)}\right) = \arctan\left(\frac{-2}{-3}\right) = \arctan(\frac{2}{3})$

Таким образом, комплексное число $-3 - 2i$ в стандартной тригонометрической форме будет:

$-3 - 2i = \sqrt{13}(\cos(\arctan(\frac{2}{3})) - i\sin(\arctan(\frac{2}{3})))$

Заметьте, что второй аргумент находится в области I и IV четверти, так как $\frac{2}{3}$ положительное число. Если бы $\frac{2}{3}$ было отрицательным, мы бы нашли аргумент во II и III четверти, но в данном случае он положителен, и поэтому используется функция $\arctan$ без дополнительных корректировок.