Question

Число 60 представьте в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей

Answer 1

Пусть первое число х , тогда второе число 60-х
$x^{2} +( 60-x )^2= x^{2} +3600-120x+ x^{2} =2 x^{2} -120x+3600$
Это парабола. Ветви вверх. Наименьшее знамение -вершина параболы.
$x_0= \frac{-b}{2a} = \frac{120}{2*2} =30$

30 - первое число
60-30=30 - второе число
Ответ: 30 и 30

Answer 2

Чтобы представить число 60 в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей, можно использовать математические методы.

Пусть эти два положительных числа равны x и y, тогда условие задачи можно записать в виде уравнения:

x + y = 60

Теперь нужно минимизировать сумму их квадратов, то есть найти значения x и y, при которых x^2 + y^2 будет минимальным.

Для решения данной задачи используется математический метод, называемый методом наименьших квадратов. Этот метод предполагает, что минимум суммы квадратов достигается в точке, где производные по x и y равны нулю.

Найдем производные и приравняем их к нулю:

d/dx (x^2 + y^2) = 2x = 0 d/dy (x^2 + y^2) = 2y = 0

Из этих уравнений следует, что x = 0 и y = 0, но такое решение не подходит, так как числа должны быть положительными. Поэтому рассмотрим другой подход.

Мы знаем, что x + y = 60. Разделим это уравнение на 2:

x/2 + y/2 = 30

Теперь воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним квадратичным:

( (x/2) + (y/2) ) / 2 ≥ sqrt( (x^2 + y^2) / 2 )

Подставим x/2 + y/2 = 30:

30 / 2 ≥ sqrt( (x^2 + y^2) / 2 )

15 ≥ sqrt( (x^2 + y^2) / 2 )

Теперь возведем обе части неравенства в квадрат:

225 ≥ (x^2 + y^2) / 2

450 ≥ x^2 + y^2

Таким образом, получили неравенство x^2 + y^2 ≤ 450. Чтобы сумма квадратов была минимальной, x^2 + y^2 должно быть как можно ближе к 450, но не превышать это значение.

Ближайшее к 450 число, которое может быть представлено в виде суммы квадратов положительных чисел, - это 225 + 225. Таким образом, для минимальной суммы квадратов числа 60 можно представить как:

x = y = 30

Таким образом, 60 можно представить в виде суммы двух положительных чисел 30 + 30, при этом сумма их квадратов будет наименьшей.