Question

|(x+2)(x-4)|>6 решите неуровновение

Answer 1

$(x+2)(x-4)=x^2-2x-8$
Это уравнение параболы, вершина которой точка (1;-9) и ветви которой направлены вниз. Итак, строим все нужные нам графики.
Закрашенная область - нужная нам.
Теперь найдем абсциссы точек пересечения.
$x^2-2x-8=6(-------)x^2-2x-8=-6 \\ x^2-2x-14=0(------)x^2-2x-2=0 \\ x=1+- \sqrt{15} (-------)x=1+- \sqrt{3}$
Тогда получаем решения  $x \in \left(-\infty, - \sqrt{15} + 1\right) \cup \left(- \sqrt{3} + 1, 1 + \sqrt{3}\right) \cup \left(1 + \sqrt{15},+ \infty\right)$

Answer 2

Для решения неравенства |(x+2)(x-4)| > 6, мы должны разбить его на отдельные уравнения и решить их по отдельности, учитывая ограничения на абсолютное значение.

1. (x+2)(x-4) > 6
2. (x+2)(x-4) < -6

Давайте решим каждое уравнение по отдельности:

1. (x+2)(x-4) > 6

Раскроем скобки:

x^2 - 4x + 2x - 8 > 6

Упростим:

x^2 - 2x - 14 > 0

Теперь нам нужно найти интервалы, где данное уравнение выполняется. Для этого можно использовать методы графического анализа или тестирования точек внутри интервалов.

Найдем корни уравнения:

x^2 - 2x - 14 = 0

Применим квадратное уравнение:

x = [2 ± √(2^2 - 4 * 1 * (-14))] / 2 x = [2 ± √(4 + 56)] / 2 x = [2 ± √60] / 2 x = [2 ± 2√15] / 2 x = 1 ± √15

Таким образом, корни уравнения равны x ≈ 4.873 и x ≈ -2.873.

Теперь построим знаки внутри интервалов:

1. x < -2.873 Выберем x = -3 (например, хотя можно взять любую точку меньше -2.873): Подставим x = -3 в уравнение: (-3)^2 - 2 * (-3) - 14 = 9 + 6 - 14 = 1 Получаем положительное значение, что не подходит под условие > 0.

2. -2.873 < x < 1 + √15 (от -2.873 до 4.873) Выберем x = 0 (например, хотя можно взять любую точку между -2.873 и 4.873): Подставим x = 0 в уравнение: 0^2 - 2 * 0 - 14 = -14 Получаем отрицательное значение, что подходит под условие > 0.

3. x > 4.873 Выберем x = 5 (например, хотя можно взять любую точку больше 4.873): Подставим x = 5 в уравнение: 5^2 - 2 * 5 - 14 = 11 - 10 - 14 = -13 Получаем отрицательное значение, что не подходит под условие > 0.

Таким образом, уравнение (x+2)(x-4) > 6 выполняется в интервале -2.873 < x < 1 + √15.

2. (x+2)(x-4) < -6

Процедура аналогична, но поменяем знак неравенства:

x^2 - 2x - 14 < -6

Упростим:

x^2 - 2x - 8 < 0

Найдем корни уравнения:

x = [2 ± √(2^2 - 4 * 1 * (-8))] / 2 x = [2 ± √(4 + 32)] / 2 x = [2 ± √36] / 2 x = [2 ± 6] / 2

Таким образом, корни уравнения равны x = 4 и x = -2.

Теперь построим знаки внутри интервалов:

1. x < -2 Выберем x = -3 (например, хотя можно взять любую точку меньше -2): Подставим x = -3 в уравнение: (-3)^2 - 2 * (-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 Получаем положительное значение, что не подходит под условие < 0.

2. -2 < x < 4 (от -2 до 4) Выберем x = 0 (например, хотя можно взять любую точку между -2 и 4): Подставим x = 0 в уравнение: 0^2 - 2 * 0 - 8 = -8 Получаем отрицательное значение, что подходит под условие < 0.

3. x > 4 Выберем x = 5 (например, хотя можно взять любую точку больше 4): Подставим x = 5 в уравнение: 5^2 - 2 * 5 - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 Получаем положительное значение, что не подходит под условие < 0.

Таким образом, уравнение (x+2)(x-4) < -6 выполняется в интервалах x < -2 и 4 < x.

Итак, решение неравенства |(x+2)(x-4)| > 6 состоит из объединения двух интервалов: -2.873 < x < 1 + √15 и x < -2 или x > 4.