Question

Решите пожалуйста это дефференциальное у линейное первого порядка (1+x^2)dy-(xy+x)dx=0

Answer 1

Посмотрите решение для этого ДУ (с разделяющимися переменными).

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения линейного первого порядка (1 + x^2)dy - (xy + x)dx = 0, мы можем использовать метод разделяющих переменных.

1. Сначала перепишем уравнение в следующем виде: (1 + x^2)dy = (xy + x)dx

2. Теперь разделим обе части уравнения на соответствующие переменные: dy / (xy + x) = dx / (1 + x^2)

3. Проинтегрируем обе части: ∫(1 / (xy + x)) dy = ∫(1 / (1 + x^2)) dx

   Здесь ∫ обозначает интеграл.

4. Вычислим интегралы: ∫(1 / (xy + x)) dy = ln|xy + x| + C1 ∫(1 / (1 + x^2)) dx = arctan(x) + C2

   Где C1 и C2 - произвольные постоянные интегрирования.

5. Получим окончательное решение уравнения: ln|xy + x| + C1 = arctan(x) + C2

6. Объединим константы интегрирования: ln|xy + x| = arctan(x) + C

   Где C = C2 - C1.

7. Избавимся от логарифма, возведя обе части уравнения в экспоненту: |xy + x| = e^(arctan(x) + C)

   Заметим, что выражение e^(arctan(x) + C) может быть переписано следующим образом: e^(arctan(x) + C) = e^(arctan(x)) * e^C

   Поскольку e^C - это просто некоторая константа, заменим ее на другую произвольную постоянную D: e^(arctan(x) + C) = D

   Теперь можем записать: |xy + x| = D

8. Так как |xy + x| - это абсолютное значение, рассмотрим два случая:

   • Случай 1: xy + x > 0 Тогда у нас будет: xy + x = D

   • Случай 2: xy + x < 0 Тогда у нас будет: -(xy + x) = D xy + x = -D

9. Объединим оба случая, учитывая D как произвольную постоянную: xy + x = ±D

10. Теперь выразим y: y = (±D - x) / x

Здесь ±D - это также произвольная константа, позволяющая учесть оба случая.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения будет: y = (±D - x) / x