Question

Требуется решить НЕ через косинусы, с подробным объяснением. Заранее спасибо. Боковая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 4. Угол при вершине, про­ти­во­ле­жа­щий основанию, равен 120°. Най­ди­те диа­метр окружности, опи­сан­ной около этого треугольника.

Answer 1

Вершина, противолежащая основанию будет лежать на серединном перпендикуляре BH. катет ему противолежащий углу 30 градусов равен 1/2 гипотенузы.  ОK-серединный перпендикуляр, BK=2, BK⊥OK, BO-ГИПОТЕНУЗА∠O=30°⇒ BK=1/2BO   ; BO=4=R ; R=2d=2·4=8

Answer 2

Для решения задачи, можно воспользоваться законом синусов. Данный закон устанавливает соотношение между сторонами треугольника и синусами противолежащих углов.

Закон синусов имеет следующий вид:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$

где $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника, а $A$, $B$ и $C$ - соответствующие углы.

В нашем случае, дан равнобедренный треугольник с боковой стороной $b = 4$ и углом при вершине $A = 120^\circ$. Поскольку у равнобедренного треугольника две равные стороны и соответствующие им углы, то у нас также будет угол $B = 120^\circ$. Угол $C$ можно найти, используя свойство суммы углов треугольника: $A + B + C = 180^\circ$.

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 120^\circ - 120^\circ = -60^\circ$

Обратите внимание, что угол $C$ получился отрицательным, что говорит о том, что угол $C$ ориентирован в противоположную сторону от остальных углов. Но в нашем случае это нормально, так как в тригонометрии углы могут быть ориентированы в разные стороны, и их значения по модулю остаются одинаковыми.

Теперь мы знаем все углы треугольника и одну из его сторон. Чтобы найти диаметр окружности, описанной около треугольника, нам необходимо найти сторону $a$, противолежащую углу $A$.

Мы можем использовать закон синусов:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$

Подставим известные значения:

$\frac{a}{\sin(120^\circ)} = \frac{4}{\sin(120^\circ)}$

Так как $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 120^\circ) = \sin(60^\circ)$, мы можем записать:

$\frac{a}{\sin(120^\circ)} = \frac{4}{\sin(60^\circ)}$

Теперь найдем значение $\sin(60^\circ)$. Величина синуса угла $60^\circ$ известна и равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\frac{a}{\sin(120^\circ)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Далее, чтобы найти $a$, домножим обе стороны на $\sin(120^\circ)$:

$a = 4 \times \frac{\sin(120^\circ)}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Мы знаем, что $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

$a = 4 \times \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4$