Question

Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 5. Угол при вер­ши­не, про­ти­во­ле­жа­щий ос­но­ва­нию, равен 120°. Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Answer 1

Как решить на уровне 10 класса не знаю, но если вспомнить начальные классы, игры с  циркулем, когда окружность делится радиусами на 6 частей. А у шестигранника углы по 120 градусов. И если представить в голове эту картинку, то диаметр описанной окружности равен 10 ед.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника и треугольника, вписанного в окружность.

Свойства равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. В данном случае, боковая сторона равна 5.

Свойства треугольника, вписанного в окружность

В треугольнике, вписанном в окружность, половина суммы мер центральных углов равна 180 градусам. Отсюда следует, что сумма мер двух углов при основании равна 180 градусам. В данном случае, угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120 градусам.

Решение задачи

Мы можем найти меру угла при основании, деля 180 градусов на 2 и вычитая из полученного значения угол при вершине:

Угол при основании = (180 - 120) / 2 = 60 градусов.

Теперь у нас есть два угла треугольника, и мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти длину основания треугольника.

В равнобедренном треугольнике, соединяющей основание с вершиной, есть медиана, которая также является биссектрисой и высотой треугольника. Мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника и применить теорему Пифагора.

Диаметр окружности, описанной вокруг треугольника, является основанием треугольника. Поэтому мы можем найти длину диаметра окружности, найдя длину основания треугольника.

Воспользуемся тригонометрическим соотношением для прямоугольного треугольника, где один угол равен 60 градусов:

sin(60°) = (противолежащий катет) / (гипотенуза).

Мы знаем, что противолежащий катет равен половине основания треугольника, так как медиана разделяет основание пополам.

Таким образом, sin(60°) = (1/2 * основание) / (5).

Разрешим это уравнение относительно основания:

(1/2 * основание) / (5) = sin(60°).

Основание = 5 * sin(60°) * 2.

Теперь мы можем найти диаметр окружности, используя найденное основание:

Диаметр = основание.

Диаметр = 5 * sin(60°) * 2.

Вычислим это:

Диаметр = 5 * √3 / 2 * 2.

Диаметр = 5 * √3.

Таким образом, диаметр окружности, описанной вокруг данного равнобедренного треугольника, равен 5 * √3.