Question

Найти общее решение(общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка! (3x+y)y'=x+3y

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка, нужно проинтегрировать уравнение относительно переменных x и y. Давайте решим данный дифференциальное уравнение.

Данное дифференциальное уравнение можно записать в форме:

(3x + y)dy/dx = x + 3y

Перепишем уравнение так, чтобы все y-термы были на одной стороне, а x-термы на другой:

(3x + y)dy = (x + 3y)dx

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫(3x + y)dy = ∫(x + 3y)dx

Для левой части произведем интегрирование по переменной y, а для правой части - по переменной x:

∫(3x + y)dy = ∫(x + 3y)dx

Упростим интегралы:

(3/2)x^2 + xy = (1/2)x^2 + 3/2y^2 + C

Где C - постоянная интегрирования.

Теперь приведем уравнение к более компактному виду, выразив y:

(3/2)x^2 + xy - (1/2)x^2 - 3/2y^2 = C

x^2 + xy - 3y^2 = C

Это уравнение является общим решением данного дифференциального уравнения первого порядка. C - произвольная константа, которая может принимать любое действительное значение.