Question

Найти общее решение дифференциальных уравнения методом вариации произвольных постоянных y"+9y=1/sin3x

Answer 1

Посмотрите предложенный вариант, оформление не соблюдалось, проверка не проводилась.

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит следующим образом:

y'' + 9y = 1/sin(3x)

Для нахождения общего решения этого уравнения методом вариации произвольных постоянных, сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

y'' + 9y = 0

Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения:

r^2 + 9 = 0

Решим характеристическое уравнение:

r^2 = -9 r = ±√(-9) r = ±3i

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x)

Теперь ищем частное решение неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид:

y_p(x) = Asin(3x) + Bcos(3x)

Теперь возьмем производные от y_p(x):

y_p'(x) = 3Acos(3x) - 3Bsin(3x) y_p''(x) = -9Asin(3x) - 9Bcos(3x)

Теперь подставим y_p и его производные в исходное уравнение:

y_p'' + 9y_p = -9Asin(3x) - 9Bcos(3x) + 9Asin(3x) + 9Bcos(3x) = 0

Видим, что правая часть уравнения обращается в ноль, поэтому предположение о виде частного решения y_p(x) верно.

Теперь общее решение неоднородного уравнения будет представлять собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x) + Asin(3x) + Bcos(3x)

Итак, общее решение дифференциального уравнения y'' + 9y = 1/sin(3x) имеет вид:

y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x) + Asin(3x) + Bcos(3x)

где C1, C2, A и B - произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий, если таковые имеются.