Question

методом вариации произвольных постоянных найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

Answer 1

Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
y" +2y' +y =3e^(-x)√(x+1)
Его общим решением является функция
 y = y*  + y**
 где y* -частное решение по методу вариации
 y** - решение соответствующего однородного уравнения
 
Решаем однородное дифференциальное уравнение:
y" +2y' +y = 0
Запишем характерестическое уравнение:
k² +2k +1=0
(k+1)² = 0
Получим два корня:
k1 = k2 = -1
Корни представляют собой два одинаковых действительных числа. Тогда фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения представляет собой две функции:
y** = C1*e^(-x) +xC2*e^(-x)
где С1 и С2 произвольные константы.

Теперь найдем частное решение y* исходного уравнения
Оно ищется в виде
   y* = C1(x)*e^(-x) +xC2(x)*e^(-x)
   Составляем систему уравнений

{С1'(x)*y1(x) + С2'(x)*y2(x) = 0
{С1'(x)*y1'(x) + С2'(x)*y2'(x) = y(x)

где y1(x) = е^(-x)  y1'(x) = -е^(-x)
y2(x) = xе^(-x)  y2'(x) = е^(-x) -xe^(-x)

{С1'(x)*e^(-x) + С2'(x)*x*e^(-x) = 0
{-С1'(x)*e^(-x) - С2'(x)*(e^(-x)+xe^(-x)) = 3e^(-x)(x+1)^(1/2)
Первое и второе уравнение разделим на e^(-x) 
{ С1'(x) + x*С2'(x) = 0
{-С1'(x) - С2'(x)*(1+x) = 3(x+1)^(1/2)

Решае систему уравнений по методу Крамера
Δ = I  1     х  I = 1*(-1-x)-x(-1) = -1-x +x =-1
      I -1  -1-x I

ΔC1' = I  0                     х  I = -3x*(1+x)^(1/2)
           I 3(x+1)^(1/2)   -1-x I
           
           
ΔC2' = I 1                  0 I = 3(1+x)^(1/2)
           I -1  3(x+1)^(1/2)I


C1'(x) = ΔC1'/Δ =-3x*(1+x)^(1/2)/(-1) =3x*(1+x)^(1/2)
C2'(x) = ΔC2'/Δ =3(1+x)^(1/2)/(-1) =-3(1+x)^(1/2)
Интегрируя находим функции С1(x) и С2(x)
C1(x)=integr(3x*(1+x)^(1/2))dx =2x(x+1)^(3/2) - (4/5)(x+1)^(5/2)
C2(x)=integr(-3(1+x)^(1/2))dx =-2(x+1)^(3/2)

Запишем частное решение данного уравнения
y = (2x(x+1)^(3/2) - (4/5)(x+1)^(5/2))*e^(-x) - 2x(x+1)^(3/2)*e^(-x) + C1e^(-x) +xC2*e^(-x)