Question

Нужна помощь с дифференциальным уравнением (1+4x^3)y"-12x^2y'=0

Answer 1

Уравнение не содержит y явно, рассмотрим функцию p(x) = y'(x). Тогда y'' = p': (1 + 4x^3) p' = 12x^2 p

Получилось уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем и интегрируем:
p'/p = 12x^2 / (1 + 4x^3)
ln(p/A) = ln(1 + 4x^3)
p(x) = A(1 + 4x^3)

Интегрируем еще раз и получаем y(x):
y(x) = A(x + x^4) + B

A, B – произвольные константы

Answer 2

Конечно, я рад помочь! Давайте решим данное дифференциальное уравнение.

Для начала, давайте найдем производные y' и y" у функции y(x).

Дано дифференциальное уравнение: (1 + 4x^3)y" - 12x^2y' = 0

Дифференцируем по x: Первая производная (y'):

dy/dx = y'

Вторая производная (y"): d^2y/dx^2 = d/dx (dy/dx)

Теперь заменим производные в исходном уравнении: (1 + 4x^3)(d^2y/dx^2) - 12x^2(dy/dx) = 0

Теперь давайте решим это уравнение.

1. Найдем первую производную y'(x): dy/dx = y' (первая производная уже найдена, это y')

2. Найдем вторую производную y"(x): d^2y/dx^2 = d/dx (dy/dx) = d/dx (y') = y"

Теперь у нас есть уравнение: (1 + 4x^3)y" - 12x^2y' = 0

Подставим значения второй производной y" и первой производной y': (1 + 4x^3)(y") - 12x^2(y') = 0

Теперь, заменим y" и y': (1 + 4x^3)(y") - 12x^2(y') = (1 + 4x^3)y" - 12x^2y' = 0

Заметим, что (1 + 4x^3) не равно нулю для любого значения x, следовательно, его можно сократить из уравнения:

y" - 12x^2y' = 0

Теперь это уравнение можно решить. Для решения данного уравнения можно использовать метод интегрирования или метод вариации постоянной. Пожалуйста, уточните ваш запрос, если вы хотите увидеть полное решение, или уточните начальные условия, если задача предполагает поиск частного решения.