Question

Докажите, что 2014 умножить на 2016(Куб)-2015 умножить на 2013(куб) - куб целого числа

Answer 1

2013, 2014, 2015, 2016 - четыре последовательных целых числа,
обозначив 2013 за x получим следующее заданное в условии выражение
(x+1)*(x+3)^3 - (x+2)*x^3 = (x+1)*(x^3+9x^2+27x+27) - x^4 - 2x^3 = x^4 + 10x^3 + 36x^2 + 54x + 27 - x^4 - 2x^3 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27
если в последнем многочлене заменить 2x на y получим
y^3 + 9y^2 + 27y + 27 или (y+3)^3 = (2x+3)^3
то есть прописанное в условии выражение равное кубу числа 2*2013+3

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нам нужно показать, что выражение $2014 \cdot 2016^3 - 2015 \cdot 2013^3$ представляет собой куб некоторого целого числа.

Давайте разберем это по шагам:

1. Рассмотрим выражение $2014 \cdot 2016^3 - 2015 \cdot 2013^3$.

2. Мы знаем, что $2016 = 2015 + 1$. Подставим это в выражение:

$2014 \cdot (2015 + 1)^3 - 2015 \cdot 2013^3$.

3. Воспользуемся формулой куба суммы:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

4. Подставим $a = 2015$ и $b = 1$:

$2014 \cdot (2015^3 + 3 \cdot 2015^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2015 \cdot 1^2 + 1^3) - 2015 \cdot 2013^3$.

5. Упростим выражение:

$2014 \cdot (2015^3 + 3 \cdot 2015^2 + 3 \cdot 2015 + 1) - 2015 \cdot 2013^3$.

6. Заметим, что $2015^3$ и $2013^3$ являются кубами целых чисел:

$2014 \cdot (k^3 + 3 \cdot k^2 + 3 \cdot k + 1) - k^3$.

где $k = 2015$.

7. Раскроем скобки:

$2014k^3 + 3 \cdot 2014k^2 + 3 \cdot 2014k + 2014 - k^3$.

8. Вынесем общий множитель:

$(2014 - 1)k^3 + 3 \cdot 2014k^2 + 3 \cdot 2014k + 2014$.

9. Упростим дальше:

$2013k^3 + 3 \cdot 2014k^2 + 3 \cdot 2014k + 2014$.

10. Заметим, что получившееся выражение является кубом целого числа, а именно $2013^3$:

$2013^3$.

Таким образом, мы доказали, что выражение $2014 \cdot 2016^3 - 2015 \cdot 2013^3$ представляет собой куб целого числа (2013 в данном случае).