Question

Найдите производную функции второго порядка y=xcosx

Answer 1

Y=xcosx

y'=1*cosx+x*(-sinx)=cosx-xsinx

y''=-sinx-(1*sinx+x*cosx)=-sinx-sinx-xcosx=-2sinx-xcosx

Answer 2

Чтобы найти производные функции второго порядка для данной функции y = x * cos(x), сначала найдем производные первого порядка, а затем продифференцируем их еще раз.

1. Найдем производную первого порядка y' (первая производная): y' = d/dx (x * cos(x))

Для нахождения производной произведения функций применим правило производной произведения (производная произведения равна произведению производных):

y' = x * d/dx (cos(x)) + cos(x) * d/dx (x)

Теперь найдем производные отдельных частей:

d/dx (cos(x)) = -sin(x) (производная косинуса) d/dx (x) = 1 (производная переменной x)

Подставим значения в выражение для y':

y' = x * (-sin(x)) + cos(x) * 1 y' = -x * sin(x) + cos(x)

2. Теперь найдем производную второго порядка y'' (вторая производная): y'' = d/dx (-x * sin(x) + cos(x))

Снова применим правило производной произведения для каждого члена:

d/dx (-x * sin(x)) + d/dx (cos(x))

Найдем производные отдельных частей:

d/dx (-x * sin(x)) = -(sin(x) + x * cos(x)) (производная произведения и суммы) d/dx (cos(x)) = -sin(x) (производная косинуса)

Подставим значения в выражение для y'':

y'' = -(sin(x) + x * cos(x)) + (-sin(x)) y'' = -sin(x) - x * cos(x) - sin(x) y'' = -2 * sin(x) - x * cos(x)

Таким образом, производная второго порядка функции y = x * cos(x) равна -2 * sin(x) - x * cos(x).