Question

Исследовать на экстремум функцию y=x^3/x-4PS x^3 (икс в кубе)

Answer 1

Дана функция  y=x³/(x-4).
Её производная y' = (2x²(x - 6))/((x - 4)²).
Отсюда видно, что она равна нулю при х = 0 и х = 6.
Найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена. На промежутках находят знаки производной.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает.
Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
Находим знаки производной:
х =    -1          0              1            6                7
у' = -0,56       0       -1,11111        0         10,88889.
Как видим, критических точек две. а экстремум один - минимум в точке х = 6. у(6) = 108.
В точке х = 0 перегиб графика.

Answer 2

Для того чтобы исследовать функцию на экстремум, сначала найдем производные функции и точки, в которых производные равны нулю или не существуют. Это поможет нам определить, где функция может достигать экстремальных значений.

Дана функция: y = x^3 / (x - 4)

Шаг 1: Найдем производную функции y по x. dy/dx = d/dx (x^3 / (x - 4))

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного:

(dy/dx) = (x - 4) * d/dx(x^3) - x^3 * d/dx(x - 4) / (x - 4)^2

(dy/dx) = (x - 4) * 3x^2 - x^3 * 1 / (x - 4)^2

(dy/dx) = 3x^3 - 4x^2 / (x - 4)^2

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю или не существует.

Чтобы найти точки, где производная равна нулю, решим уравнение:

3x^3 - 4x^2 = 0

Вынесем общий множитель:

x^2(3x - 4) = 0

Таким образом, получаем два корня:

1. x^2 = 0, что дает x = 0
2. 3x - 4 = 0, что дает x = 4/3

Теперь проверим, есть ли точки, где производная не существует. Производная не существует в тех точках, где знаменатель равен нулю:

x - 4 = 0

Отсюда получаем, что x = 4.

Шаг 3: Определим, какие типы экстремумов возможны в найденных точках.

1. x = 0: Подставим это значение x в исходную функцию, чтобы определить тип экстремума:

y = (0)^3 / (0 - 4) = 0 / (-4) = 0

Таким образом, у нас есть точка (0, 0), где функция имеет минимум.

2. x = 4/3: Подставим это значение x в исходную функцию, чтобы определить тип экстремума:

y = (4/3)^3 / (4/3 - 4) = 64/27 / (-8/3) = -64/27 * 3/8 = -8/27

Таким образом, у нас есть точка (4/3, -8/27), где функция имеет максимум.

3. x = 4: Здесь производная не существует, что может указывать на вершину разрыва или угловую точку. Однако без дополнительной информации нельзя точно определить тип экстремума.

Итак, функция имеет локальный минимум в точке (0, 0) и локальный максимум в точке (4/3, -8/27). Точка (4, f(4)) требует дополнительного исследования, чтобы понять ее характер.

Заметьте, что это только исследование на локальные экстремумы. Чтобы получить полную картину поведения функции, необходимо проанализировать поведение функции на всей числовой прямой, используя тесты второй производной и другие методы.