Question

Найдите первообразную функции f(x) =8x^3+3x^2-2, график которойпроходит через точку A(−1; 2)

Answer 1

F(x)=2x^4+x^3-2x+c;
Подставляем точки -1 и 2
2=2-1+2+с;
c=-1
F(x)=2x^4+x^3-2x-1

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x)$ нужно найти функцию $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. То есть, мы ищем $F(x)$, для которой $F'(x) = 8x^3 + 3x^2 - 2$.

Для нахождения $F(x)$ интегрируем $f(x)$ по $x$ соответствующим образом:

$F(x) = \int (8x^3 + 3x^2 - 2) \, dx$

Чтобы найти $F(x)$, интегрируем каждый член отдельно:

$F(x) = \int 8x^3 \, dx + \int 3x^2 \, dx - \int 2 \, dx$

Интегрируем каждый член:

$F(x) = 2x^4 + x^3 - 2x + C$

где $C$ - постоянная интегрирования.

Теперь, чтобы найти конкретное значение $C$, используем информацию о том, что график функции проходит через точку $A(-1, 2)$. Это означает, что $F(-1) = 2$.

$F(-1) = 2 \Rightarrow 2(-1)^4 + (-1)^3 - 2(-1) + C = 2$ $2 + 1 + 2 + C = 2$ $C = -3$

Таким образом, окончательно первообразная функции $f(x)$ с условием прохождения через точку $A(-1, 2)$ будет:

$F(x) = 2x^4 + x^3 - 2x - 3$