Question

3^2013+3^2014+3^2016 уравнение делим на 31. Ответ 3^2013. Мне нужно решение:) Помогите плз.

Answer 1

$\frac{3 ^{2013} + 3 ^{2014} + 3 ^{2016}}{31} = \frac{{3 ^{2013}(1 + 3 + 3 ^{3})}}{31} = \frac{3 ^{2013}*31}{31} = 3 ^{2013}$
(Лучший ответ)

Answer 2

Давайте разберемся вместе.

Мы хотим решить уравнение: (3^2013 + 3^2014 + 3^2016) ≡ 0 (mod 31)

Для начала, давайте посмотрим, можно ли упростить выражение (3^2013 + 3^2014 + 3^2016) с помощью свойств модульной арифметики:

1. Свойство суммы: (a + b) ≡ (c + d) (mod m) => a ≡ c (mod m) и b ≡ d (mod m)

Применим это свойство, чтобы упростить выражение:

(3^2013 + 3^2014 + 3^2016) ≡ (3^2013 + 3^2014) + 3^2016 (mod 31)

2. Свойство умножения: (a * b) ≡ (c * d) (mod m) => a ≡ c (mod m) и b ≡ d (mod m)

Теперь применим свойство умножения:

(3^2013 + 3^2014 + 3^2016) ≡ 3^2013 * (1 + 3) (mod 31)

(3^2013 + 3^2014 + 3^2016) ≡ 3^2013 * 4 (mod 31)

Теперь нам нужно проверить, делится ли 3^2013 * 4 на 31.

Правило деления: Если a * b ≡ 0 (mod m), то a ≡ 0 (mod m) или b ≡ 0 (mod m).

Поскольку 31 является простым числом, 3^2013 и 4 не могут делиться на 31, так как 3 и 31 являются взаимно простыми числами (у них нет общих делителей, кроме 1). Поэтому, чтобы уравнение выполнилось, необходимо, чтобы (3^2013 + 3^2014 + 3^2016) было кратно 31.

Таким образом, ответ: (3^2013 + 3^2014 + 3^2016) делится на 31, и (3^2013) является ее наименьшим положительным решением.