Question

Sin^2 x+3/2sin2x+2cos^2 x=0 Решите пожалуйста!

Answer 1

Sin²x + 1,5sin2x + 2cos²x = 0

sin²x + 3sinxcosx + 2cos²x = 0 |:cos²x

tg²x + 3tgx + 2 = 0
D = 9 - 8 = 1
tgx₁ = (-3-1)/2 = -2
x₁ = arctg(-2) + πk,

tgx₂ = (-3+1)/2 = -1
x₂ = -π/4 + πk, k∈Z

Answer 2

Для решения уравнения sin^2(x) + (3/2)sin(2x) + 2cos^2(x) = 0, давайте сначала преобразуем его.

Заметим, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x), тогда уравнение станет:

sin^2(x) + 3/2 * 2sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) = 0

Теперь объединим члены, содержащие sin(x) и cos(x):

sin^2(x) + 3sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) = 0

Теперь мы можем заметить, что данное уравнение является квадратным уравнением относительно sin(x) и cos(x). Чтобы решить его, давайте представим его как квадратный трёхчлен относительно sin(x) или cos(x). Мы можем использовать формулу для квадратного уравнения:

ax^2 + bx + c = 0

где x - это sin(x) или cos(x), и a, b, c - коэффициенты. Сравним это с уравнением:

sin^2(x) + 3sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) = 0

Мы видим, что a = 1, b = 3, c = 2.

Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Для sin(x):

sin(x) = (-(3) ± √(3^2 - 4 * 1 * 2)) / 2 * 1 sin(x) = (-3 ± √(9 - 8)) / 2 sin(x) = (-3 ± √1) / 2

Таким образом, возможные значения sin(x) это:

1. sin(x) = (-3 + 1) / 2 = -1
2. sin(x) = (-3 - 1) / 2 = -2

Однако, значения синуса ограничены от -1 до 1, поэтому второй корень (-2) недопустим.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения cos(x), мы можем использовать исходное уравнение:

sin^2(x) + 3sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) = 0

Для sin(x) = -1:

1 + 3cos(x) + 2cos^2(x) = 0

Преобразуем это квадратное уравнение:

2cos^2(x) + 3cos(x) + 1 = 0

Теперь применим формулу для нахождения корней:

cos(x) = (-(3) ± √(3^2 - 4 * 2 * 1)) / 2 * 2 cos(x) = (-3 ± √(9 - 8)) / 4 cos(x) = (-3 ± √1) / 4

Таким образом, возможные значения cos(x) это:

1. cos(x) = (-3 + 1) / 4 = -1/2
2. cos(x) = (-3 - 1) / 4 = -1

Таким образом, решения уравнения sin^2(x) + (3/2)sin(2x) + 2cos^2(x) = 0 это sin(x) = -1 и cos(x) = -1, или sin(x) = -1 и cos(x) = -1/2.