Question

Найти вероятность того, что при 300 испытаниях событие наступит ровно 100 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,6.

Answer 1

В $n=300$ испытаниях наступит ровно $k=100$ раз. Вероятность успеха в одном испытании, равна  $p=0.6$

Применим локальную теорему Лапласа 

$P_{300}(k=100)\approx \dfrac{1}{ \sqrt{npq} }\cdot \phi (x) = \dfrac{1}{\sqrt{300\cdot 0.6\cdot (1-0.6)}} \phi (x) = \dfrac{\phi (x) }{6 \sqrt{2} }$

$x= \dfrac{k-np}{ \sqrt{nqp} }= \dfrac{100-300\cdot0.6}{\sqrt{300\cdot0.4\cdot 0.6}}= \dfrac{-80}{6 \sqrt{2} } =- \dfrac{40}{3 \sqrt{2} }\approx-9.4$

Функция  $\phi(x)$ четная, т.е.  $\phi(-9.4)=\phi(9.4)\approx 0.2\cdot 10^{-19}$


Искомая вероятность:    

$P= \dfrac{0.2\cdot 10^{-19}}{6 \sqrt{2} } \approx 0.2\cdot 10^{-20}$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, которое описывает количество успехов (в данном случае, наступление события) в серии независимых испытаний с фиксированной вероятностью успеха в каждом испытании.

Формула для биномиального распределения выглядит так:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

где: P(X = k) - вероятность того, что событие наступит ровно k раз C(n, k) - количество сочетаний из n по k (число способов выбрать k успехов из n испытаний) p - вероятность успеха в одном испытании n - общее количество испытаний k - количество успехов (событий, которые наступили)

В данном случае: p = 0,6 (вероятность появления события в каждом испытании) n = 300 (общее количество испытаний) k = 100 (количество раз, когда событие наступило)

Теперь можем вычислить вероятность P(X = 100):

P(X = 100) = C(300, 100) * 0,6^100 * (1 - 0,6)^(300 - 100)

Где C(300, 100) - количество сочетаний из 300 по 100, которое можно вычислить следующим образом:

C(300, 100) = 300! / (100! * (300 - 100)!)

Так как вычисление факториалов 300! и 200! может быть очень объемным, давайте воспользуемся приближенным значением, известным как формула Стирлинга:

n! ≈ √(2 * π * n) * (n / e)^n

где e - основание натурального логарифма (приближенное значение 2,71828).

Теперь вычислим P(X = 100):

C(300, 100) ≈ √(2 * π * 300) * (300 / e)^300 / (√(2 * π * 100) * (100 / e)^100 * √(2 * π * 200) * (200 / e)^200)

P(X = 100) ≈ C(300, 100) * 0,6^100 * (1 - 0,6)^(300 - 100)

После подстановки приближенного значения C(300, 100) и вычислений получим окончательный ответ:

P(X = 100) ≈ 0,04022 (или около 4,02%)

Таким образом, вероятность того, что событие наступит ровно 100 раз из 300 испытаний при вероятности успеха 0,6 в каждом испытании, составляет около 4,02%.