Question

Найти общие решения дифференциального уравнения второго порядка: y//=xsinx;

Answer 1

Дважды почленно проинтегрируем левую и правую части уравнения, получим

$y'=\displaystyle \int x\sin xdx= \left\{\begin{array}{ccc}u=x;~~ dv=\sin xdx\\ du=dx;~~ v=-\cos x\end{array}\right\}=-x\cos x+\\ \\ +\int \cos x dx=-x\cos x+\sin x +C_1$


$y=\displaystyle \int (-x\cos x+\sin x +C_1)dx= \left\{\begin{array}{ccc}x=u;~~ dv=\cos xdx\\ dx=du;~~ v=\sin x\end{array}\right\}=\\ \\ \\ =-x\sin x+\int \sin x dx-\cos x+C_1x=\boxed{-x\sin x-2\cos x+C_1x+C_2}$

Answer 2

Для того чтобы найти общие решения дифференциального уравнения второго порядка, данного вам в виде:

y'' = x * sin(x),

необходимо решить его с использованием стандартных методов дифференциальных уравнений. Отметим, что уравнение имеет вид неоднородного уравнения с правой частью x * sin(x).

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения

Уравнение без правой части (однородное уравнение) имеет вид:

y'' = 0.

Для решения однородного уравнения предположим, что y имеет вид y = e^(rt), где r - некоторая константа. Подставим это предположение в уравнение:

(e^(rt))'' = 0, r^2 * e^(rt) = 0.

Характеристическое уравнение:

r^2 = 0.

Его корень:

r = 0.

Таким образом, одно из решений однородного уравнения имеет вид y1 = c1, где c1 - произвольная константа.

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения

Чтобы найти частное решение для неоднородного уравнения y'' = x * sin(x), предположим, что y имеет вид y = Ax^2 + Bx + C, где A, B и C - некоторые константы. Подставим это предположение в уравнение:

y'' = 2A.

Теперь подставим найденное частное решение в исходное уравнение:

2A = x * sin(x).

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x с обеих сторон уравнения:

2A = 0.

Таким образом, A = 0.

Шаг 3: Найдем второе частное решение для неоднородного уравнения

Так как одно из решений уже получено (y1 = c1), мы ищем второе частное решение в виде y2 = Ax + B, где A и B - некоторые константы.

Подставим это предположение в уравнение:

(y2)'' = 0, A = x * sin(x).

Теперь найдем частные производные:

(y2)' = A, (y2)'' = 0.

Теперь подставим найденное частное решение в исходное уравнение:

0 = x * sin(x).

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x с обеих сторон уравнения, мы получаем:

0 = 0.

Это уравнение верно для любого x, что не дает нам новых решений.

Шаг 4: Общее решение

Общее решение исходного неоднородного уравнения y'' = x * sin(x) имеет вид:

y(x) = c1 + Ax + B,

где c1, A и B - произвольные константы.