Question

Петя и Витя играют в такую игру. Двое по очереди кладут пятикопейки на круглый стол. Разберитесь, может ли один с игроков обеспечить себе победу и если может то как ему следует играть.

Answer 1

 При правильной игре выигрывает тот, кто начинает, --- первый игрок. Вот его стратегия. Первым ходом он кладет монету в центр стола. Затем после каждого хода второго первый кладет монету симметрично монете, только что положенной вторым, относительно центра стола (рис. 1). Очевидно, если возможен очередной ход второго игрока, то возможен и симметричный ему ответный ход первого. Следовательно, первый игрок побеждает.

Answer 2

Да, один из игроков может обеспечить себе победу в этой игре, при условии, что оба игрока играют оптимально. Давайте разберемся, как это возможно.

Поскольку оба игрока играют оптимально, каждый из них будет стараться максимизировать свои шансы на победу и минимизировать шансы противника.

Предположим, что первый игрок - Петя, а второй - Витя.

1. Шаг: Петя кладет первую монету.

   • Витя теперь должен ответить, чтобы уравновесить количество монет на столе.

2. Шаг: Петя кладет вторую монету.

   • Витя теперь должен снова ответить, чтобы уравновесить количество монет на столе.

3. Шаг: Петя кладет третью монету.

   • Теперь на столе 3 монеты.

4. Шаг: Витя кладет четвертую монету.

   • Теперь на столе 4 монеты.

На данном этапе Пете есть возможность взять пятую монету и победить. Если он возьмет пятую монету, у него будет 3 монеты (Петя - 3, Витя - 2), и Витя не сможет сбалансировать количество монет при следующем ходе, ибо на столе нет пятой монеты.

Однако Петя должен сделать иначе, чтобы обеспечить свою победу:

5. Шаг: Петя кладет четвертую монету вместо того, чтобы взять пятую.
   • Теперь на столе 5 монет (Петя - 4, Витя - 1).

Теперь Витя вынужден положить последнюю, пятую монету, и количество монет будет следующим: Петя - 4, Витя - 2. Витя больше не сможет сбалансировать количество монет на столе, и Петя обеспечивает себе победу.

Таким образом, чтобы обеспечить себе победу, Пете нужно стремиться к тому, чтобы всегда на столе было нечетное количество монет (например, 1, 3 или 5), когда остается один ход до того, как закончатся монеты. Это позволит ему контролировать количество монет после хода Вити и гарантировать победу в игре.