Question

Найдите неопределенный интеграл S(интеграл) (5x^3-8/x)dx

Answer 1

$\displaystyle \int\bigg(5x^3- \frac{8}{x}\bigg)dx=\int 5x^3dx-8\int \frac{dx}{x} = \frac{5x^4}{4}-8\ln|x|+C$

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла ∫(5x^3 - 8/x) dx, следует разбить исходное выражение на два интеграла:

∫(5x^3) dx - ∫(8/x) dx.

Затем проинтегрируем каждую часть по отдельности:

1. ∫(5x^3) dx: Интегрирование констант и мономов происходит по формуле: ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.

В нашем случае n = 3: ∫(5x^3) dx = (5/4)x^4 + C1,

где C1 - произвольная постоянная.

2. ∫(8/x) dx: Здесь имеем обратную степенную функцию, интеграл которой равен: ∫(1/x) dx = ln|x| + C2.

где ln|x| - натуральный логарифм абсолютного значения x, а C2 - произвольная постоянная.

Теперь объединим результаты:

∫(5x^3 - 8/x) dx = (5/4)x^4 - 8ln|x| + C,

где C - объединение констант C1 и C2.

Это и есть ответ на задачу.