Question

Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок остановится, равна 0,3; второй 0,4; третий - 0,7; четвертый - 0,4. Найти вероятность того, что в течение часа 1) все станки остановятся; 2) все станки будут работать; 3) будет работать два станка; 4) хотя бы один станок будет работать без остановок.

Answer 1

Вероятность того, что в течение часа первый станок работает, равна 1-0.3=0.7, второй: 1-0.4=0.6, третий - 1-0.7=0.3; четвертый - 1-0.4=0.6

1) Вероятность того, что в течении часа все станки остановятся, равна(по теореме умножения):   $P_1=0.3\cdot 0.4\cdot 0.7\cdot0.4=0.0336$

2) Вероятность того, что в течении часа все станки будут работать, равна  $P_2=0.7\cdot0.6\cdot0.3\cdot 0.6=0.0756$

3) Вероятность того, что в течении часа будет работать два станка, равна 
$P_3=0.3\cdot0.4\cdot0.3\cdot 0.6+0.3\cdot0.6\cdot0.3\cdot0.4+0.7\cdot0.6\cdot0.7\cdot0.4+\\ +0.7\cdot0.4\cdot0.3\cdot0.4+0.7\cdot0.4\cdot0.7\cdot0.6=0.312$

4) Вероятность того, что в течении часа будет работать хотя бы один станок, равна  $P_4=1-P_1=1-0.0336=0.9664$

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся понятием независимых событий. Первый станок работает независимо от второго, третьего и четвертого, и так далее. Вероятность того, что все станки будут работать или все станки остановятся, определяется произведением вероятностей каждого станка. Вероятность того, что будет работать ровно два станка или хотя бы один станок, рассчитывается с использованием комбинаторики и вероятности.

1. Вероятность того, что все станки остановятся: P(все станки остановятся) = P(остановка станка 1) * P(остановка станка 2) * P(остановка станка 3) * P(остановка станка 4) P(все станки остановятся) = 0,3 * 0,4 * 0,7 * 0,4 P(все станки остановятся) = 0,0336

2. Вероятность того, что все станки будут работать: P(все станки работают) = P(работа станка 1) * P(работа станка 2) * P(работа станка 3) * P(работа станка 4) P(все станки работают) = (1 - P(остановка станка 1)) * (1 - P(остановка станка 2)) * (1 - P(остановка станка 3)) * (1 - P(остановка станка 4)) P(все станки работают) = (1 - 0,3) * (1 - 0,4) * (1 - 0,7) * (1 - 0,4) P(все станки работают) = 0,084

3. Вероятность того, что будет работать ровно два станка: Для определения этой вероятности, нам нужно рассмотреть все возможные комбинации, когда ровно два станка будут работать. Это может быть станок 1 и станок 2, станок 1 и станок 3, станок 1 и станок 4, станок 2 и станок 3, станок 2 и станок 4, станок 3 и станок 4. Каждую комбинацию нужно умножить на вероятность этих событий и сложить результаты.

P(ровно два станка работают) = P(работа станка 1) * P(работа станка 2) * P(остановка станка 3) * P(остановка станка 4) + P(работа станка 1) * P(остановка станка 2) * P(работа станка 3) * P(остановка станка 4) + P(работа станка 1) * P(остановка станка 2) * P(остановка станка 3) * P(работа станка 4) + P(остановка станка 1) * P(работа станка 2) * P(работа станка 3) * P(остановка станка 4) + P(остановка станка 1) * P(работа станка 2) * P(остановка станка 3) * P(работа станка 4) + P(остановка станка 1) * P(остановка станка 2) * P(работа станка 3) * P(работа станка 4)

P(ровно два станка работают) = (1 - 0,3) * (1 - 0,4) * 0,7 * 0,4 + (1 - 0,3) * 0,4 * (1 - 0,7) * 0,4 + (1 - 0,3) * 0,4 * 0,7 * (1 - 0,4) + 0,3 * (1 - 0,4) * (1 - 0,7) * 0,4 + 0,3 * (1 - 0,4) * 0,7 * (1 - 0,4) + 0,3 * 0,4 * (1 - 0,7) * (1 - 0,4)

P(ровно два станка работают) = 0,2352

4. Вероятность того, что хотя бы один станок будет работать без остановок: Это обратное событие к тому, что все станки остановятся. То есть: P(хотя бы один станок работает без остановок) = 1 - P(все станки остановятся) P(хотя бы один станок работает без остановок) = 1 - 0,0336 P(хотя бы один станок работает без остановок) = 0,9664

Таким образом, вероятности для каждого из событий равны:

1. Вероятность того, что все станки остановятся: 0,0336
2. Вероятность того, что все станки будут работать: 0,084
3. Вероятность того, что будет работать ровно два станка: 0,2352
4. Вероятность того, что хотя бы один станок будет работать без остановок: 0,9664