Question

Найти точку экстремума 5x^4-40x+4

Answer 1

$y=5x^4-40x+4\\ y'=20x^3-40=20(x^3-2)\\ y'=0\ npu\ x= \sqrt[3]{2}$
y'   -           +
----------|---------> x
y   ↘    $\sqrt[3]{2}$    ↗
В окрестности точки  $\sqrt[3]{2}$ производная меняет знак, значит,  $x=\sqrt[3]{2}$ - точка экстремума

Answer 2

Чтобы найти точку экстремума функции, необходимо найти её производную и приравнять к нулю. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, могут быть потенциальными точками экстремума.

Итак, у нас дана функция: f(x) = 5x^4 - 40x + 4

1. Найдем производную функции f(x) по переменной x: f'(x) = d/dx (5x^4 - 40x + 4)

Для этого возьмем производные каждого слагаемого по отдельности:

d/dx (5x^4) = 20x^3 d/dx (-40x) = -40 d/dx (4) = 0 (постоянная производная равна нулю)

Теперь составим производную f'(x) полной функции:

f'(x) = 20x^3 - 40

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

20x^3 - 40 = 0

3. Решим уравнение относительно x:

20x^3 = 40

x^3 = 40 / 20

x^3 = 2

x = ∛2 ≈ 1.26

Таким образом, мы нашли одну критическую точку функции f(x) при x ≈ 1.26.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума или минимума, необходимо проанализировать её окрестности. Однако, в данном случае, нам понадобится также исследовать поведение функции на всей числовой прямой, чтобы определить, существуют ли другие экстремумы. В этом случае, проведение второй производной и исследование знаков производной может помочь в анализе поведения функции. Если требуется дополнительный анализ, пожалуйста, дайте знать.