Question

Решите уравнение: 2 arcsin x + arccos(1 − x) = 0.

Answer 1

Обозначим arcsinx=a
тогда sina=x   
подставим arcsinx=a в уравнение
2a+arccos(1-x)=0
arccos(1-x)=-2a
cos(-2a)=1-x    cos - функция четная
cos2a=1-x 
по формуле cos двойного угла cos2a=1-2sin²a

1-2sin²a=1-x
1-2x²=1-x
2x²-x=0
x(2x-1)=0
1) x1=0
2) 2x-1=0
    x=1/2

Answer 2

Для решения уравнения 2arcsin(x) + arccos(1 - x) = 0, следует использовать свойства обратных тригонометрических функций и алгебруические преобразования.

Помним следующие свойства:

1. arcsin(x) + arccos(x) = π/2
2. arcsin(x) = arccos(√(1 - x^2))
3. arccos(x) = π/2 - arcsin(x)

Давайте заменим arccos(1 - x) на π/2 - arcsin(1 - x), используя свойство 3:

2arcsin(x) + (π/2 - arcsin(1 - x)) = 0

Теперь, чтобы избавиться от arccos и оставить только arcsin, воспользуемся свойством 2:

2arcsin(x) + π/2 - arcsin(1 - x) = 0

Теперь перенесем одну из arcsin(x) на другую сторону уравнения:

2arcsin(x) = arcsin(1 - x) - π/2

Используем теперь обратную функцию sin(2arcsin(x)) = 2x:

2x = sin(arcsin(1 - x) - π/2)

Теперь воспользуемся свойством sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β):

2x = sin(arcsin(1 - x))cos(π/2) - cos(arcsin(1 - x))sin(π/2)

Так как sin(π/2) = 1 и cos(π/2) = 0:

2x = sin(arcsin(1 - x)) * 0 - cos(arcsin(1 - x)) * 1

2x = -cos(arcsin(1 - x))

Теперь воспользуемся свойством cos(arcsin(x)) = √(1 - x^2):

2x = -√(1 - (1 - x)^2)

Теперь разрешим уравнение относительно x:

2x = -√(1 - (1 - x)^2)

Делим обе стороны на 2:

x = -1/2 * √(1 - (1 - x)^2)

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

x^2 = 1/4 * (1 - (1 - x)^2)

Раскрываем квадрат справа:

x^2 = 1/4 * (1 - (1 - x)(1 - x))

x^2 = 1/4 * (1 - (1 - 2x + x^2))

x^2 = 1/4 * (1 - 1 + 2x - x^2)

x^2 = 1/4 * (2x - x^2)

Умножаем обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

4x^2 = 2x - x^2

Теперь приводим подобные члены:

4x^2 + x^2 = 2x

5x^2 = 2x

Теперь переносим все члены в одну сторону уравнения:

5x^2 - 2x = 0

Теперь выносим x за скобку:

x(5x - 2) = 0

Теперь решим два уравнения:

1. x = 0

2. 5x - 2 = 0 5x = 2 x = 2/5

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 0 и x = 2/5.