Question

Укажите множество решений неравенства . ((2x-3)( x+2))/ x-6<=0

Answer 1

(( 2х – 3 ) ( х+2 )) / ( х – 6 ) ≤ 0;

Применим метод интервалов. Найдем корни уравнения, заменив частное в выражении, произведением:

( 2х – 3 ) * ( х+2 ) * ( х – 6 ) = 0;

Найдем корни уравнения.

Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю. Приравняем каждый сомножитель к нулю:

2х – 3 = 0;

2х = 3;

х = 3 : 2;

х1 = 1,5;

х + 2 = 0;

х2 = -2;

х – 6 = 0;

х3 = 6;

На координатной прямой найдем точки с координатами -2; 1,5; 6, которые расположатся слева направо.

Получим интервалы (- ∞; -2);(-2; 1,5); (1,5; 6) и (6; + ∞).

Чтобы определить знак неравенства на каждом из интервалов, возьмем какое-либо число из крайнего правого промежутка.

Например, 10. При х = 10, ( 2х – 3 ) * ( х+2 ) * ( х – 6 ) > 0;

Тогда знаки последующих интервалов будет чередоваться:

При х ∈ (1,5; 6), ( 2х – 3 ) * ( х+2 ) * ( х – 6 ) < 0;

При х ∈ (-2; 1,5), ( 2х – 3 ) * ( х+2 ) * ( х – 6 ) > 0;

При х ∈ ( - ∞; -2), ( 2х – 3 ) * ( х+2 ) * ( х – 6 ) < 0;

Выберем те промежутки, где неравенство меньше нуля. Т.к. неравенство нестрогое, тогда неравенство верно при х ∈ ( - ∞; -2] ∪ [1,5; 6].

Ответ: ( - ∞; -2] ∪ [1,5; 6].

Answer 2

Чтобы найти множество решений неравенства $\frac{(2x-3)(x+2)}{x-6} \leq 0$, следует выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти значения $x$, которые делают выражение $(2x-3)(x+2)$ равным нулю. Это позволит найти вертикальные асимптоты функции, которые разделяют области, где выражение положительно и отрицательно.

$(2x-3)(x+2) = 0$

Теперь решим уравнение:

$2x-3 = 0$ или $x+2 = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x = \frac{3}{2}$ и $x = -2$.

Шаг 2: Определить знак выражения $(2x-3)(x+2)$ в интервалах между и за пределами критических точек.

Выберем тестовую точку из каждого интервала и определим знак выражения:

• Для $x < -2$, возьмем $x = -3$: $(2(-3)-3)(-3+2) = (-9)(-1) = 9$ (положительное).
• Для $-2 < x < \frac{3}{2}$, возьмем $x = 0$: $(2(0)-3)(0+2) = (-3)(2) = -6$ (отрицательное).
• Для $x > \frac{3}{2}$, возьмем $x = 2$: $(2(2)-3)(2+2) = (1)(4) = 4$ (положительное).

Шаг 3: Определить знак исходного выражения $\frac{(2x-3)(x+2)}{x-6}$ в каждом интервале.

Составим таблицу интервалов:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервалы} & (2x-3)(x+2) & x-6 & \frac{(2x-3)(x+2)}{x-6} \\ \hline x < -2 & + & - & - \\ \hline -2 < x < \frac{3}{2} & - & - & + \\ \hline x > \frac{3}{2} & + & + & + \\ \hline \end{array}$$

Шаг 4: Найти множество решений, учитывая, что $\frac{(2x-3)(x+2)}{x-6} \leq 0$.

Так как неравенство $\frac{(2x-3)(x+2)}{x-6} \leq 0$ выполняется тогда, когда выражение $(2x-3)(x+2)$ отрицательно или равно нулю, и знаменатель $x-6$ не равен нулю, решениями будут значения $x$, которые лежат в интервалах, где исходное выражение отрицательно или равно нулю:

$x \in (-2, \frac{3}{2}] \setminus \{6\}$

Таким образом, множество решений неравенства $\frac{(2x-3)(x+2)}{x-6} \leq 0$ - это интервал $(-2, \frac{3}{2}]$, за исключением точки $x = 6$.