Question

Найти приближенное значение (0,98)^6 с помощью дифференциала.

Answer 1

f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀)Δx

x₀ = 1

Δx = -0,02

f(x) = x⁶

f'(x) = 6x⁵

f(0,98) ≈ f(1) + f'(1)*(-0,02) = 1 + 6*(-0,02) = 1 - 0,12 = 0,88

Answer 2

Для приближенного вычисления значения выражения (0,98)^6 с помощью дифференциала воспользуемся методом линейного приближения. Для этого используем формулу дифференцирования степенной функции:

d(y^n)/dx = n * x^(n-1) * dx,

где y - функция, n - степень, dx - приращение аргумента (в данном случае, приращение x).

В данном задании x = 0,98 и n = 6.

1. Вычислим значение функции при x = 0,98:

y = (0,98)^6 = 0,98 * 0,98 * 0,98 * 0,98 * 0,98 * 0,98 ≈ 0,8852925792.

2. Теперь возьмем маленькое приращение dx, например, dx = 0,02. В реальных приложениях приращение выбирают достаточно маленьким, чтобы линейное приближение было хорошим.

3. Найдем значение дифференциала dy при этом приращении:

dy = 6 * (0,98)^(6-1) * 0,02.

dy ≈ 6 * (0,98)^5 * 0,02 ≈ 6 * 0,9039207968 * 0,02 ≈ 0,1082352502.

4. Теперь применим формулу линейного приближения:

Приращение в y ≈ dy = 0,1082352502.

Приближенное значение (0,98)^6 ≈ y + приращение в y ≈ 0,8852925792 + 0,1082352502 ≈ 0,9935278294.

Итак, приближенное значение (0,98)^6 с помощью дифференциала равно около 0,9935.