Question

Обчислити площу фігуру обмеженої лініями x=4-y^2,x-y+2=0

Answer 1

Ответ на рисунке ниже.

Answer 2

Для обчислення площі фігури обмеженої заданими лініями x = 4 - y^2 та x - y + 2 = 0, спочатку потрібно знайти точки їх перетину, а потім обчислити площу обмеженої фігури.

Крок 1: Знаходження точок перетину

Підставимо вираз x = 4 - y^2 в друге рівняння, щоб знайти значення y:

4 - y^2 - y + 2 = 0

Помножимо всю рівняння на -1, щоб привести його до стандартного квадратного виду:

y^2 + y - 6 = 0

Тепер можемо спростити рівняння, факторизувати або використати квадратний корінь, щоб знайти значення y. Факторизувати це рівняння можна наступним чином:

(y + 3)(y - 2) = 0

Звідси отримуємо дві можливі точки перетину:

1. y + 3 = 0 => y = -3
2. y - 2 = 0 => y = 2

Крок 2: Знаходження відповідних значень x

Підставимо знайдені значення y у рівняння x = 4 - y^2:

1. При y = -3: x = 4 - (-3)^2 x = 4 - 9 x = -5

2. При y = 2: x = 4 - 2^2 x = 4 - 4 x = 0

Отже, маємо дві точки перетину: (-5, -3) та (0, 2).

Крок 3: Обчислення площі фігури

Фігура обмежується лініями x = 4 - y^2 та x - y + 2 = 0. Для обчислення площі цієї фігури можемо використати інтеграл:

Площа = ∫[a, b] (x - y + 2) dx

де a та b - це значення x для відповідних точок перетину.

1. При a = -5, b = 0:

Площа = ∫[-5, 0] (x - y + 2) dx = ∫[-5, 0] (x - (-3) + 2) dx = ∫[-5, 0] (x + 5) dx = [(x^2/2) + 5x] | [-5, 0] = [(0^2/2) + 5(0)] - [((-5)^2/2) + 5(-5)] = [0] - [(-25/2) - 25] = 0 - [(-25 - 50)/2] = 0 - (-75/2) = 75/2 = 37.5

Отже, площа фігури обмеженої заданими лініями дорівнює 37.5 квадратних одиниць.