Question

Корень 2sinx (2x+П/4)+Корень 3cosx=sin2x-1 [П;5П/2]

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для решения уравнения необходимо найти значения переменной x в заданном интервале [π; 5π/2], которые удовлетворяют уравнению:

√(2sinx(2x+π/4)) + √(3cosx) = sin(2x) - 1

Давайте по шагам решим уравнение:

Шаг 1: Приведем к общему знаменателю и упростим уравнение:

√(2sinx(2x+π/4)) + √(3cosx) = sin(2x) - 1

Заметим, что √(2sinx(2x+π/4)) = √(2sinx(2x+π/4)) * √(2sinx(2x+π/4)) = √(4sin^2x(2x+π/4)) = √(4sin^2x(2x+π/4)) = 2sinx * √(2x+π/4)

Теперь уравнение принимает вид:

2sinx * √(2x+π/4) + √(3cosx) = sin(2x) - 1

Шаг 2: Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

2sinx * √(2x+π/4) + √(3cosx) - sin(2x) + 1 = 0

Шаг 3: Используем тригонометрические тождества:

sin(2x) = 2sinx*cosx

Тогда уравнение принимает вид:

2sinx * √(2x+π/4) + √(3cosx) - 2sinx*cosx + 1 = 0

Шаг 4: Вынесем общий множитель из первых двух слагаемых:

sinx * (2√(2x+π/4) - 2cosx) + √(3cosx) + 1 = 0

Шаг 5: Посмотрим на каждое слагаемое отдельно:

a) sinx * (2√(2x+π/4) - 2cosx) = 0

Следовательно, либо sinx = 0, либо (2√(2x+π/4) - 2cosx) = 0.

b) √(3cosx) + 1 = 0

Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как корень никогда не может быть отрицательным, а слагаемое 1 всегда положительное.

Шаг 6: Рассмотрим каждое из уравнений:

a) sinx = 0

На интервале [π; 5π/2] синус равен 0 в точках π, 3π/2 и 2π. Поэтому x = π, 3π/2 и 2π являются решениями.

b) 2√(2x+π/4) - 2cosx = 0

Разделим уравнение на 2:

√(2x+π/4) - cosx = 0

Из этого уравнения можно найти два значения x:

√(2x+π/4) = cosx

Так как квадратный корень всегда неотрицателен, то и cosx должен быть неотрицательным:

cosx ≥ 0

На интервале [π; 5π/2], cosx ≥ 0 на интервалах [3π/2; 2π] и [2π; 5π/2]. Поэтому найдем значения x только на этих интервалах.

1. На интервале [3π/2; 2π]:

√(2x+π/4) = cosx

Так как cosx ≥ 0 на этом интервале, то можем возвести обе части уравнения в квадрат:

2x + π/4 = cos^2x

2x = cos^2x - π/4

2x = 1 - π/4 (так как cos^2x = 1 на интервале [3π/2; 2π])

x = (1 - π/4) / 2

x = (4 - π) / 8

2. На интервале [2π; 5π/2]:

√(2x+π/4) = cosx

Так как cosx ≥ 0 на этом интервале, то можем возвести обе части уравнения в квадрат:

2x + π/4 = cos^2x

2x = cos^2x - π/4

2x = 0 - π/4 (так как cos^2x = 0 на интервале [2π; 5π/2])

x = (0 - π/4) / 2

x = -π / 8

Таким образом, решения уравнения на интервале [π; 5π/2] это x = π, 3π/2, 2π, (4 - π) / 8 и -π / 8.