Question

Помогите, пожалуйста) Найти интегралы от рациональных дробей А)∫(х^(2)+2)/(х^(2)-2)dx B)∫dx/((x+1)(x-2)(x+3))

Answer 1

Решение интегралов приведено ниже

Answer 2

Конечно, помогу! Для нахождения данных интегралов воспользуемся методом частных дробей.

А) Интеграл ∫(x^2 + 2)/(x^2 - 2) dx:

1. Разложим дробь на простые дроби: (x^2 + 2)/(x^2 - 2) = A + B/(x - √2) + C/(x + √2)

2. Найдем значения коэффициентов A, B и C. Для этого приведем дробь к общему знаменателю и сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

x^2 + 2 = A(x^2 - 2) + B(x + √2) + C(x - √2)

3. Решим уравнение для коэффициентов:

1. Подставим x = √2: 2 + 2 = B(√2 + √2) → 4 = 2√2B → B = 2/√2 = √2
2. Подставим x = -√2: 2 + 2 = C(-√2 - √2) → 4 = -2√2C → C = -2/√2 = -√2
3. Подставим x = 0: 0 + 2 = A(-2) → A = -1

Таким образом, разложение на простые дроби будет иметь вид: (x^2 + 2)/(x^2 - 2) = -1 + √2/(x - √2) - √2/(x + √2)

Теперь интегрируем каждую из простых дробей по отдельности: ∫(-1) dx = -x + C1, ∫(√2/(x - √2)) dx = √2 * ln|x - √2| + C2, ∫(-√2/(x + √2)) dx = -√2 * ln|x + √2| + C3.

Где C1, C2 и C3 - произвольные постоянные интегрирования. Таким образом, окончательное решение будет иметь вид: ∫(x^2 + 2)/(x^2 - 2) dx = -x + √2 * ln|x - √2| - √2 * ln|x + √2| + C.

Б) Интеграл ∫dx/((x + 1)(x - 2)(x + 3)):

1. Разложим дробь на простые дроби: 1/((x + 1)(x - 2)(x + 3)) = A/(x + 1) + B/(x - 2) + C/(x + 3)

2. Найдем значения коэффициентов A, B и C. Приведем дробь к общему знаменателю и сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

1 = A(x - 2)(x + 3) + B(x + 1)(x + 3) + C(x + 1)(x - 2)

3. Решим уравнение для коэффициентов:

1. Подставим x = -1: 1 = A(-1 - 2)(-1 + 3) → 1 = 3A → A = 1/3
2. Подставим x = 2: 1 = C(2 + 1)(2 - 2) → 1 = 3C → C = 1/3
3. Подставим x = -3: 1 = B(-3 + 1)(-3 - 2) → 1 = -10B → B = -1/10

Таким образом, разложение на простые дроби будет иметь вид: 1/((x + 1)(x - 2)(x + 3)) = 1/3/(x + 1) - 1/10/(x - 2) + 1/3/(x + 3)

Теперь интегрируем каждую из простых дробей по отдельности: ∫(1/3/(x + 1)) dx = (1/3) * ln|x + 1| + C1, ∫(-1/10/(x - 2)) dx = (-1/10) * ln|x - 2| + C2, ∫(1/3/(x + 3)) dx = (1/3) * ln|x + 3| + C3.

Где C1, C2 и C3 - произвольные постоянные интегрирования. Таким образом, окончательное решение будет иметь вид: ∫dx/((x + 1)(x - 2)(x + 3)) = (1/3) * ln|x + 1| - (1/10) * ln|x - 2| + (1/3) * ln|x + 3| + C.