Question

1. Если скорость материальной точки движущейся прямолинейно равна м(t)=5t-1 тогда путь S пройденный точкой за время t=4 от начала движения равна.. 2. множество всех первообразных функций y=3x^2 имеет вид... 3. точка x =1 для функции y=3x/(2-x) является... а. точкой устранимого разрыва б. точкой разрыва 1 рода в. точкой непрерывности г. точкой разрыва 2 рода.

Answer 1

В первом задании мы интегрируем скорость, так как это производная пути по времени.
Во втором задании не забываем про С в выражении F(x) (множество первообразных).
В третьем функция непрерывна на интервале включающим x=1 и определена при этом значении х.
Удачи вам!

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из вопросов по отдельности:

1. Чтобы найти путь S, пройденный точкой за время t=4, нужно вычислить определенный интеграл скорости от 0 до 4:

$S = \int_{0}^{4} m(t) \, dt$

Где m(t) = 5t - 1 - это функция скорости. Теперь найдем интеграл:

$S = \int_{0}^{4} (5t - 1) \, dt$ $S = \left[\frac{5}{2}t^2 - t \right]_{0}^{4}$ $S = \left(\frac{5}{2}(4)^2 - 4\right) - \left(\frac{5}{2}(0)^2 - 0\right)$ $S = \left(\frac{5}{2} \cdot 16 - 4\right) - 0$ $S = 40 - 4$ $S = 36$

Таким образом, точка пройдет путь равный 36 единицам за время t=4.

2. Чтобы найти множество всех первообразных функций $y = 3x^2$, нужно найти интеграл этой функции относительно x:

$\int 3x^2 \, dx$

Вычислим интеграл:

$\int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{1}{3}x^3 + C = x^3 + C$

Где C - произвольная константа. Итак, множество всех первообразных функций $y = 3x^2$ имеет вид $y = x^3 + C$.

3. Чтобы определить характер точки x=1 для функции $y = \frac{3x}{2-x}$, проверим её непрерывность в этой точке.

a. Точка $x=1$ будет точкой устранимого разрыва, если функция определена и имеет конечные значения в этой точке. Исследуем функцию в $x=1$:

$y = \frac{3 \cdot 1}{2-1} = 3$

Функция определена и имеет конечное значение в $x=1$, поэтому это не точка устранимого разрыва.

b. Точка $x=1$ будет точкой разрыва 1 рода, если функция имеет разрыв первого рода в этой точке. Разрыв первого рода происходит, когда одно из односторонних пределов не существует или бесконечен. Вычислим односторонние пределы функции при $x\to1$:

$\lim_{x \to 1^-} \frac{3x}{2-x} = \lim_{x \to 1^-} \frac{3}{2-x} = \frac{3}{1} = 3$ $\lim_{x \to 1^+} \frac{3x}{2-x} = \lim_{x \to 1^+} \frac{3}{2-x} = \frac{3}{1} = 3$

Оба односторонних предела равны 3, следовательно, нет разрыва первого рода.

c. Точка $x=1$ будет точкой непрерывности, если она не является ни точкой устранимого разрыва, ни точкой разрыва 1 рода. У нас уже было показано, что это не точка устранимого разрыва и не точка разрыва 1 рода, значит, это точка непрерывности.

d. Точка $x=1$ будет точкой разрыва 2 рода, если она не является точкой устранимого разрыва, но функция имеет разрыв 2 рода. В данном случае мы уже выяснили, что это не точка устранимого разрыва, и нет разрыва первого рода, следовательно, это также не точка разрыва 2 рода.

Итак, точка $x=1$ для функции $y=\frac{3x}{2-x}$ является точкой непрерывности (вариант в).