Question

1)Найдите наименьшее значение функции 12x-12ln(x+6)+4 на отрезке (-5,5;0)

Answer 1

Находим производную заданной функции.
y' = (12(x+5))/(x+6) и приравниваем её нулю.
 (12(x+5))/(x+6) = 0,
 12(x+5) = 0,
  х = -5.
 Определяем характер найденного экстремума, найдя значения функции левее и правее точки х = -5.
х =       -5,5           -5              -4,5
у = -53,6822       -56           -54,8656.
Как видим, в этой точке - минимум функции.

Ответ:
минимум функции 12x-12ln(x+6)+4 на отрезке (-5,5;0) равен -56.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции 12x - 12ln(x + 6) + 4 на отрезке (-5, 0), нужно следующее:

1. Найдите критические точки функции на данном отрезке.
2. Оцените значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка (-5, 0).
3. Выберите минимальное значение из полученных в пункте 2.

Шаг 1: Найдем критические точки функции. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует.

Начнем с нахождения производной функции: f(x) = 12x - 12ln(x + 6) + 4

f'(x) = 12 - 12 * (1 / (x + 6)) = 12 - 12 / (x + 6) = 12 - 12 / (x + 6)

Теперь найдем значения x, при которых f'(x) = 0:

12 - 12 / (x + 6) = 0

12 = 12 / (x + 6)

(x + 6) = 1

x = 1 - 6

x = -5

Таким образом, единственная критическая точка на отрезке (-5, 0) - это x = -5.

Шаг 2: Оцените значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка (-5, 0).

a) Для x = -5:

f(-5) = 12 * (-5) - 12ln(-5 + 6) + 4 = -60 - 12ln(1) + 4 = -60 - 12 * 0 + 4 = -60 + 4 = -56

b) Для x = -5.0001 (небольшое значение слева от -5):

f(-5.0001) = 12 * (-5.0001) - 12ln(-5.0001 + 6) + 4

c) Для x = 0:

f(0) = 12 * 0 - 12ln(0 + 6) + 4 = 0 - 12ln(6) + 4

d) Для x = -4.9999 (небольшое значение справа от -5):

f(-4.9999) = 12 * (-4.9999) - 12ln(-4.9999 + 6) + 4

Шаг 3: Выберите минимальное значение из полученных в пункте 2.

Минимальное значение будет на одной из критических точек или на концах отрезка (-5, 0). Нам осталось только сравнить значения из пункта 2b, 2c и 2d с значением из пункта 2a.

По сравнению всех полученных значений, наименьшее значение функции на отрезке (-5, 0) составляет: -56 (достигается в точке x = -5).