Question

Помогите. Знайти точку максимум функції f(x)=1/3x^3-x^2

Answer 1

Берём производную от f, это будет -1/х^4-2х
Приравниваем это к нулю, находим корни уравнения : корень пятой степени из 1/2, это и будет max

Answer 2

Щоб знайти точку максимуму функції f(x), спочатку потрібно знайти її похідну, прирівняти до нуля і знайти значення x, що відповідає максимуму або мінімуму функції. В даному випадку, ми знаходимо точку максимуму.

1. Знайдемо похідну функції f(x): f'(x) = d/dx(1/3x^3 - x^2)

Знайдемо похідну кожної частини окремо: d/dx(1/3x^3) = x^2 d/dx(-x^2) = -2x

Отже, f'(x) = x^2 - 2x

2. Прирівняємо похідну до нуля і знайдемо значення x для точки максимуму: x^2 - 2x = 0

3. Факторизуємо: x(x - 2) = 0

4. Знаходимо значення x: Звідси отримуємо два значення x: x = 0 та x = 2.

5. Використаємо тест відображення, щоб з'ясувати, чи відповідають ці значення максимуму:

5.1. Візьмемо довільну точку з інтервалу (-∞, 0), наприклад, x = -1: f(-1) = 1/3 * (-1)^3 - (-1)^2 = 1/3 + 1 = 4/3 > 0

5.2. Візьмемо довільну точку з інтервалу (0, 2), наприклад, x = 1: f(1) = 1/3 * (1)^3 - (1)^2 = 1/3 - 1 = -2/3 < 0

5.3. Візьмемо довільну точку з інтервалу (2, ∞), наприклад, x = 3: f(3) = 1/3 * (3)^3 - (3)^2 = 9 - 9 = 0

6. Висновок: За результатами тестування відображення, точка x = 2 дає нам максимум функції.

Таким чином, точка максимуму функції f(x) = 1/3x^3 - x^2 знаходиться при x = 2, а значення функції в цій точці є f(2) = 1/3 * (2)^3 - (2)^2 = 8/3 - 4 = 0.6667.