Question

Решите интеграл, (2xcos2x)dx

Answer 1

sin 2x cos 2x dx может вот так? если да вот ответ =(1/2)int(sin2x)d(sin2x)=(1/4)*sin^2(2x)+C.

Answer 2

Для решения интеграла ∫(2xcos^2x)dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям, который гласит:

∫(u dv) = uv - ∫(v du),

где u и v - это функции, а du и dv - их дифференциалы.

Давайте выберем:

u = 2x (таким образом, du = 2dx), dv = cos^2x dx (таким образом, v = ∫cos^2x dx).

Для нахождения ∫cos^2x dx, мы можем воспользоваться формулой сокращения двойного угла для тригонометрических функций:

cos^2x = (1 + cos(2x)) / 2.

Теперь, найдем интеграл ∫cos^2x dx:

∫cos^2x dx = ∫(1 + cos(2x))/2 dx = (1/2)∫dx + (1/2)∫cos(2x)dx = (1/2)x + (1/4)sin(2x) + C, где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь у нас есть значение v, и мы можем вычислить значения u и du:

u = 2x, du = 2dx.

Теперь применим метод интегрирования по частям:

∫(2xcos^2x)dx = uv - ∫vdu = 2x * [(1/2)x + (1/4)sin(2x)] - ∫[(1/2)x + (1/4)sin(2x)] * 2dx = x^2 + (1/2)x*sin(2x) - ∫(x + (1/2)sin(2x)) dx.

Теперь нам нужно вычислить последний интеграл ∫(x + (1/2)sin(2x)) dx:

∫(x + (1/2)sin(2x)) dx = ∫x dx + (1/2)∫sin(2x) dx = (1/2)x^2 - (1/4)cos(2x) + C.

Итак, окончательное решение интеграла:

∫(2xcos^2x)dx = x^2 + (1/2)xsin(2x) - [(1/2)x^2 - (1/4)cos(2x)] + C = x^2 + (1/2)xsin(2x) - (1/2)x^2 + (1/4)cos(2x) + C = (1/2)x^2 + (1/2)x*sin(2x) + (1/4)cos(2x) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.