Question

Решить уравнение , допускающие понижение порядка 2 ·y''=-1 y(0)=0.5 y'(0)=√2

Answer 1

Это дифференциальное уравнение второго порядка независящее явным образом от неизвестной х

Пусть  $y'=p(y)$, тогда  $y''=p'p(y)$, тогда

$y^3pp'=-1$ - уравнение с разделяющимися переменными

$\dfrac{y^3pdp}{dy} =-1~~~\Rightarrow~~~ \displaystyle \int pdp=-\int \frac{dy}{y^3} \\ \\ \frac{p^2}{2}= \frac{1}{2y^2} +C_1~~~\Rightarrow~~~ p^2= \frac{1}{y^2} +C_1$

Откуда  $p=\pm\sqrt{ \dfrac{1}{y^2} +C_1}$


Возвращаемся к обратной замене


$y'=\displaystyle \sqrt{ \dfrac{1}{y^2} +C_1}~~~\Rightarrow~~~ \int\frac{dy}{\sqrt{ \dfrac{1}{y^2} +C_1}} =\int dx\\ \\ \\ \frac{1}{2C_1} \int \frac{d(1+C_1y^2)}{\sqrt{1+C_1y^2}} =\int dx~~~\Rightarrow~~~ \boxed{ \frac{ \sqrt{1+C_1y^2} }{C_1} +C_2=x}$
Получили общий интеграл

Найдем теперь частный интеграл, подставляя начальные условия.

$\displaystyle \left \{ {{ \frac{ \sqrt{1+0\cdot C_1} }{C_1}=0.5 } \atop {------//-----}} \right.$

Дальше нужно C1 и C2 и записать общий вид частного интеграла

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиями, давайте последовательно выполним несколько шагов.

1. Приведение уравнения к каноническому виду.
2. Нахождение общего решения уравнения.
3. Применение начальных условий для определения констант.
4. Запись окончательного ответа.

Шаг 1: Приведение уравнения к каноническому виду.

Для этого делим уравнение на 2: $y'' = -\frac{1}{2}$

Шаг 2: Нахождение общего решения уравнения.

Интегрируем уравнение два раза по переменной y: $\int y'' dy = \int -\frac{1}{2} dy$

Интегрирование первого раза: $y' = -\frac{1}{2}y + C_1$

Интегрирование второго раза: $y = -\frac{1}{4}y^2 + C_1y + C_2$

Общее решение уравнения имеет вид: $y = -\frac{1}{4}y^2 + C_1y + C_2$

Шаг 3: Применение начальных условий.

Используем начальные условия: $y(0) = 0.5 \quad \text{и} \quad y'(0) = \sqrt{2}$

Подставляем значения и решаем систему уравнений для нахождения констант C1 и C2:

$$\begin{cases} C_2 = 0.5 \\ C_1 + C_2 = \sqrt{2} \end{cases}$$

Из второго уравнения находим: $C_1 = \sqrt{2} - C_2 = \sqrt{2} - 0.5 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 4: Запись окончательного ответа.

Теперь, когда мы нашли константы, можем записать окончательное решение уравнения: $y = -\frac{1}{4}y^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}y + 0.5$

Это уравнение является окончательным решением и удовлетворяет заданным начальным условиям.