Question

СРОЧНО! Необходимо исследовать сходимость ряда, применяя признак сравнения 1/11+1/21+1/31+...+1/((10n)+1)+...

Answer 1

$\displaystyle \frac{1}{11} +\frac{1}{21} +...+\frac{1}{10n+1} +...=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{10n+1}$

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{10n+1} \sim \sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n}$ гармонический ряд расходится. По первому признаку сравнения ряд расходится.

Answer 2

Для исследования сходимости данного ряда, воспользуемся признаком сравнения. Пусть дан ряд:

1/11 + 1/21 + 1/31 + ... + 1/((10n)+1) + ...

Будем сравнивать его с рядом геометрической прогрессии, чтобы определить, сходится ли исходный ряд или расходится.

Рассмотрим ряд геометрической прогрессии:

1/11 + 1/11^2 + 1/11^3 + ... + 1/11^n + ...

Этот ряд сходится, так как его общий член (a_n) равен 1/11^n и является убывающей функцией (каждый следующий элемент меньше предыдущего).

Теперь сравним исходный ряд с рядом геометрической прогрессии:

1/11 + 1/21 + 1/31 + ... + 1/((10n)+1) + ... < 1/11 + 1/11^2 + 1/11^3 + ... + 1/11^n + ...

Так как каждый элемент исходного ряда меньше соответствующего элемента ряда геометрической прогрессии, а ряд геометрической прогрессии сходится, мы можем заключить, что и исходный ряд сходится.

Таким образом, ряд

1/11 + 1/21 + 1/31 + ... + 1/((10n)+1) + ...

сходится.