Question

Решить задачу Коши. 2yy''=(y')^2, y(1)=0, y'(1)=1

Answer 1

Это уравнение вида $y''=f(y;y')$. Для решения такого уравнения нужно вводить новую замену $y'=p(y)$, тогда $y''=p'p$

$2yp'p=p^2\\ 2yp'=p$

Это дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, уравнение с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \frac{dp}{dy} =\frac{p}{2y} ~~~\Rightarrow~~ \int\frac{dp}{p} =\frac{1}{2}\int \frac{dy}{y} ~~\Rightarrow~~ \ln|p|=\ln\sqrt{y} +\ln C_1\\ \\ p=C_1\sqrt{y}$

Сделав обратную замену: $y'=C_1\sqrt{y}$

$\displaystyle \int \frac{dy}{C_1\sqrt{y}} =\int dx~~\Rightarrow~~~ \frac{2\sqrt{y}}{C_1} =x+C_2$

Получили общий интеграл. Теперь нужно найти частное решение, подставив начальные условия: y(1)=0 и y'(1)=1.

$\displaystyle \left \{ {{\frac{2\sqrt{0}}{C_1}=1+C_2} \atop {1=C_1\cdot \sqrt{1}}} \right. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{0=1+C_2} \atop {C_1=1}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ C_1=1;~C_2=-1$

$2\sqrt{y} =x-1$ - ЧАСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Answer 2

Для решения задачи Коши, которая включает дифференциальное уравнение второго порядка и начальные условия, следуем этим шагам:

1. Найдем общее решение дифференциального уравнения.
2. Применим начальные условия для определения конкретного решения.

Итак, начнем с первого шага:

Шаг 1: Найдем общее решение дифференциального уравнения.

Данное уравнение имеет вид: 2yy'' = (y')^2.

Здесь y'' обозначает вторую производную y по x, а y' - первую производную y по x.

Предположим, что y - функция x и рассмотрим y' и y'':

y' = dy/dx, y'' = d^2y/dx^2.

Подставим эти значения в уравнение:

2y(dy/dx) = (dy/dx)^2.

Теперь давайте перепишем уравнение так, чтобы у нас было уравнение с разделенными переменными:

2y(dy/dx) - (dy/dx)^2 = 0.

Теперь давайте разделим обе стороны на 2y(dy/dx):

(dy/dx) - (dy/dx)^2 / 2y = 0.

(dy/dx)(1 - (dy/dx) / 2y) = 0.

Таким образом, у нас есть два возможных случая:

1. dy/dx = 0.

2. 1 - (dy/dx) / 2y = 0.

Рассмотрим каждый случай по отдельности:

Случай 1: dy/dx = 0.

Это уравнение очень простое и его можно проинтегрировать сразу:

dy/dx = 0, dy = 0*dx, y = C1,

где C1 - произвольная постоянная.

Случай 2: 1 - (dy/dx) / 2y = 0.

Это уравнение нелинейное, но его можно решить методом разделения переменных:

2y dy = dx, ∫2y dy = ∫dx, y^2 = x + C2,

где C2 - еще одна произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

y^2 = x + C2, y = ±√(x + C2).

Шаг 2: Применение начальных условий.

Теперь используем начальные условия, чтобы найти конкретные значения постоянных C1 и C2.

y(1) = 0:

0 = ±√(1 + C2). Это равенство имеет только одно решение, и это C2 = -1.

Теперь, y'(1) = 1:

y = ±√(x - 1).

y' = ±(1/2√(x - 1)).

Теперь у нас есть две опции:

1. y = √(x - 1) и y' = 1 / 2√(x - 1).
2. y = -√(x - 1) и y' = -1 / 2√(x - 1).

Таким образом, у нас есть два различных решения задачи Коши, удовлетворяющих начальным условиям:

1. y = √(x - 1),
2. y = -√(x - 1).