Question

Найдите одну из первообразных функции a)f (x)=x2-6x б)f (x)=7x + e2x в)f (x)=x +1x+3x г)f (x)=5sin x+ 3cos x

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для каждой из данных функций, найдем их первообразные:

а) $f(x) = x^2 - 6x$

Чтобы найти первообразную этой функции, возьмем интеграл от $f(x)$ по $x$:

$\int (x^2 - 6x) \, dx$

Разбиваем интеграл на два части:

$\int x^2 \, dx - \int 6x \, dx$

Интегрируем каждую часть по отдельности:

$\frac{x^3}{3} - 3x^2 + C_1$

где $C_1$ - произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции $f(x) = x^2 - 6x$ равна $\frac{x^3}{3} - 3x^2 + C_1$.

б) $f(x) = 7x + e^{2x}$

Для этой функции найдем первообразную:

$\int (7x + e^{2x}) \, dx$

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$\frac{7x^2}{2} + \frac{e^{2x}}{2} + C_2$

где $C_2$ - произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции $f(x) = 7x + e^{2x}$ равна $\frac{7x^2}{2} + \frac{e^{2x}}{2} + C_2$.

в) $f(x) = \frac{x + 1}{x + 3}$

Для этой функции найдем первообразную:

$\int \frac{x + 1}{x + 3} \, dx$

Для интегрирования разделим числитель на знаменатель:

$\int \left(1 - \frac{2}{x + 3}\right) \, dx$

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$x - 2\ln|x + 3| + C_3$

где $C_3$ - произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции $f(x) = \frac{x + 1}{x + 3}$ равна $x - 2\ln|x + 3| + C_3$.

г) $f(x) = 5\sin x + 3\cos x$

Для этой функции найдем первообразную:

$\int (5\sin x + 3\cos x) \, dx$

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$-5\cos x + 3\sin x + C_4$

где $C_4$ - произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции $f(x) = 5\sin x + 3\cos x$ равна $-5\cos x + 3\sin x + C_4$.