Question

Как отделить корни уравнения e^x +2x+2=0? каким методом если более точным

Answer 1

Проще всего применить метод итерации - постепенное приближение к результату путём подстановки более точных значений переменной.
Удобно пользоваться программой Excel, в которой легко решается экспонента  $e^x$.
Для данной задачи было достаточно шести итераций:
x =        -2                -1            -1,1          -1,15         -1,157      -1,157185
2х + 2 = 2                  0             0,2             0,3            0,314      0,31437
e^x = 0,135335   0,367879   0,332871   0,316637   0,314428   0,3143699.
Последнее значение х = -1,157185 есть корень уравнения с точностью до 6 знаков.
Проверку можно выполнить в интернетовской программе WolframAlpha.

Answer 2

Для отделения корней уравнения $e^x + 2x + 2 = 0$, можно воспользоваться графическим методом и численными методами. В данном случае, наиболее точным численным методом для нахождения корней уравнения будет метод Ньютона (или метод касательных).

Метод Ньютона использует локальную линейную аппроксимацию функции в окрестности предполагаемого корня и последовательно улучшает приближения к корню до достижения желаемой точности.

Шаги метода Ньютона:

1. Выбираем начальное значение $x_0$ (например, из графика или из простых предположений).
2. Находим следующее приближение $x_1$ с помощью формулы $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$, где $f(x)$ - исходное уравнение, а $f'(x)$ - его производная.
3. Повторяем шаг 2 до достижения желаемой точности.

Давайте проделаем вычисления для вашего уравнения $e^x + 2x + 2 = 0$:

1. Исходное уравнение: $f(x) = e^x + 2x + 2$.
2. Производная уравнения: $f'(x) = e^x + 2$.

Предположим начальное значение $x_0 = -2$:

$x_1 = -2 - \frac{e^{-2} + 2 \cdot (-2) + 2}{e^{-2} + 2} \approx -1.8347$

Теперь используем $x_1$ как новое приближение:

$x_2 = -1.8347 - \frac{e^{-1.8347} + 2 \cdot (-1.8347) + 2}{e^{-1.8347} + 2} \approx -1.8414$

Продолжаем этот процесс до достижения желаемой точности. При каждом следующем шаге, значение $x$ будет уточняться. Обратите внимание, что метод Ньютона не всегда сходится к корню, и некоторые значения $x_0$ могут привести к различным корням.

Также, как альтернативу методу Ньютона, можно использовать другие численные методы, такие как метод бисекции или метод секущих, которые обеспечивают надежное отделение корней и сходятся к ним, но они могут быть менее эффективными с точки зрения скорости сходимости.