Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у = – х2 + 4; и осью Ох

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = –х^2 + 4 и осью Ох, необходимо вычислить определенный интеграл от функции у по оси Ох на соответствующем интервале.

Первым шагом является определение точек пересечения параболы с осью Ох, так как эти точки образуют границы интегрирования.

Уравнение параболы: у = –х^2 + 4

Чтобы найти точки пересечения с осью Ох, нужно приравнять у к 0 и решить уравнение: 0 = –х^2 + 4

Приравниваем х^2 к 4: х^2 = 4

Теперь находим значения х: х = ±√4 х = ±2

Таким образом, парабола пересекает ось Ох в точках (2, 0) и (-2, 0).

Теперь найдем площадь фигуры между параболой и осью Ох, что равно интегралу от модуля функции у по оси Ох на интервале [-2, 2]:

Площадь = ∫[от -2 до 2] |–х^2 + 4| dx

Для вычисления этого интеграла нужно разделить его на два подинтегральных выражения в зависимости от знака функции:

При x от -2 до 0: |–х^2 + 4| = –х^2 + 4 При x от 0 до 2: |–х^2 + 4| = х^2 - 4

Теперь вычислим каждый из интегралов:

∫[от -2 до 0] (–х^2 + 4) dx = [–(х^3)/3 + 4х] от -2 до 0 = [–(0)/3 + 4(0)] - [–(–8/3) + 4(–2)] = 0 - (8/3 - 8) = 8/3 - 8 = -16/3

∫[от 0 до 2] (х^2 - 4) dx = [(х^3)/3 - 4х] от 0 до 2 = [(2^3)/3 - 4(2)] - [(0)/3 - 4(0)] = [8/3 - 8] - [0 - 0] = 8/3 - 8

Теперь найдем разность интегралов:

Площадь = -16/3 - (8/3 - 8) = -16/3 + 8/3 - 8 = -8 - 8 = -16

Площадь фигуры, ограниченной параболой у = –х^2 + 4 и осью Ох, равна 16 квадратных унитов (единиц площади). Обратите внимание, что результат отрицательный, что объясняется тем, что парабола находится выше оси Ох на интервале [-2, 2]. Интеграл модуля позволяет нам получить положительное значение площади.