Question

Решить систему матричным методом 1)x1-2x2+5x3=42)2x1-3x2+x3=33)3x1+x2-4x3=2

Answer 1

Метод Крамера. Решение задания приложено

Answer 2

Для решения системы линейных уравнений матричным методом, мы должны представить систему в матричной форме и затем применить метод Гаусса-Жордана или метод обратных матриц (если он применим).

Данная система уравнений выглядит следующим образом:

1. x1 - 2x2 + 5x3 = 4
2. 2x1 - 3x2 + x3 = 3
3. 3x1 + x2 - 4x3 = 2

Матричная форма этой системы будет выглядеть так:

[A] * [X] = [B],

где: [A] = матрица коэффициентов (3x3), [X] = матрица переменных (столбец 3x1), [B] = матрица свободных членов (столбец 3x1).

Составим матрицы A и B:

[A] = | 1 -2 5 | | 2 -3 1 | | 3 1 -4 |

[B] = | 4 | | 3 | | 2 |

Теперь решим систему уравнений матричным методом:

1. Найдем обратную матрицу [A]^-1, если она существует.
2. Умножим обе стороны уравнения на [A]^-1: [A]^-1 * [A] * [X] = [A]^-1 * [B] [X] = [A]^-1 * [B]

Давайте выполним вычисления:

Шаг 1: Нахождение обратной матрицы [A]^-1 (если она существует):

Для определения обратной матрицы проверим определитель матрицы [A]. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует.

det([A]) = | 1 -2 5 | | 2 -3 1 | | 3 1 -4 |

det([A]) = 1 * ((-3) * (-4) - 1 * 1) - (-2) * (2 * (-4) - 1 * 3) + 5 * (2 * 1 - (-3) * 3) det([A]) = 1 * (12 - 1) - (-2) * (-8 - 3) + 5 * (2 + 9) det([A]) = 11 + 22 + 55 det([A]) = 88

Так как определитель матрицы [A] (det([A])) не равен нулю (det([A]) ≠ 0), обратная матрица [A]^-1 существует, и мы можем продолжить.

Шаг 2: Нахождение обратной матрицы [A]^-1:

Для этого рассчитаем матрицу алгебраических дополнений и транспонируем ее:

adj([A]) = | 11 13 -4 | | -21 -20 5 | | 4 5 -1 |

Транспонируем adj([A]):

adj([A])^T = | 11 -21 4 | | 13 -20 5 | | -4 5 -1 |

Теперь вычислим обратную матрицу [A]^-1:

[A]^-1 = (1/det([A])) * adj([A])^T [A]^-1 = (1/88) * | 11 -21 4 | | 13 -20 5 | | -4 5 -1 |

[A]^-1 = | 11/88 -21/88 1/22 | | 13/88 -5/44 5/44 | | -1/22 5/88 -1/88 |

Шаг 3: Нахождение матрицы переменных [X]:

[X] = [A]^-1 * [B]

[X] = | 11/88 -21/88 1/22 | * | 4 | | 13/88 -5/44 5/44 | | 3 | | -1/22 5/88 -1/88 | | 2 |

Выполним умножение матриц:

[X] = | 11/88 * 4 + (-21/88) * 3 + 1/22 * 2 | | 13/88 * 4 + (-5/44) * 3 + 5/44 * 2 | | (-1/22) * 4 + 5/88 * 3 + (-1/88) * 2 |

[X] = | (44 - 63 + 2)/88 | | (52 - 15 + 10)/88 | | (-4 + 15 - 2)/88 |

[X] = | -17/88 | | 47/88 | | 9/88 |

Таким образом, решение системы уравнений:

x1 = -17/88, x2 = 47/88, x3 = 9/88.