Question

Доказать совместность данной системы линейных уравнений x₁ - 2x₂ + 3x₃ = 6 2x₁ + 3x₂ - 4x₃ = 20 3x₁ - 2x₂ - 5x₃ = 6

Answer 1

Определитель системы 
1 -2 3
2 3 -4
3 -2 -5
равен - 58 , отличен от нуля,
ранг расширенной матрицы равен 3
следовательно, система уравнений имеет единственное решение
определитель расширенной матрицы
-2 3 6
3 -4 20
-2 -5 6
равен - 464

Answer 2

Для доказательства совместности данной системы линейных уравнений, нам нужно проверить, существует ли хотя бы одно решение, которое удовлетворяет всем уравнениям одновременно.

Система линейных уравнений, которую вы предоставили, может быть записана в матричной форме следующим образом:

|  1  -2   3 |   | x₁ |   |  6 |
|  2   3  -4 | * | x₂ | = | 20 |
|  3  -2  -5 |   | x₃ |   |  6 |

где матрица коэффициентов - это матрица, состоящая из коэффициентов перед переменными, столбец переменных - это столбец переменных x₁, x₂ и x₃, и столбец свободных членов - это столбец чисел справа от знака равенства.

Расширенная матрица

Для дальнейшего анализа системы линейных уравнений, добавим столбец свободных членов к матрице коэффициентов:

|  1  -2   3   6 |
|  2   3  -4  20 |
|  3  -2  -5   6 |

Это называется расширенной матрицей системы.

Элементарные преобразования

Используя элементарные преобразования строк, мы можем привести расширенную матрицу к упрощенному ступенчатому виду или к упрощенной форме Гаусса. Элементарные преобразования строк включают в себя:

1. Перестановка двух строк. 2. Умножение строки на ненулевое число. 3. Сложение строки с другой строкой, умноженной на число.

Применяя эти преобразования к расширенной матрице, мы можем получить упрощенный ступенчатый вид:

|  1  -2   3   6 |
|  0   7 -10   8 |
|  0   0 -29 -12 |

Решение системы

Из упрощенного ступенчатого вида расширенной матрицы, мы можем сделать следующие наблюдения:

1. Последнее уравнение 0x₁ + 0x₂ - 29x₃ = -12 приводит к уравнению 0 = -12, что является неверным утверждением.

2. Следующее уравнение 0x₁ + 7x₂ - 10x₃ = 8 приводит к уравнению 7x₂ - 10x₃ = 8, где переменные x₂ и x₃ связаны между собой без участия переменной x₁.

3. Первое уравнение x₁ - 2x₂ + 3x₃ = 6 приводит к уравнению x₁ = 2x₂ - 3x₃ + 6, где переменная x₁ зависит от переменных x₂ и x₃.

Исходя из этих наблюдений, мы можем сделать вывод, что система линейных уравнений не имеет единственного решения, но имеет бесконечное множество решений. Это означает, что существует множество значений переменных x₁, x₂ и x₃, которые удовлетворяют системе уравнений.

Решение системы

Множество решений системы линейных уравнений можно записать с помощью параметров. В данном случае, мы можем выбрать x₂ и x₃ в качестве параметров и выразить x₁ через них:

x₁ = 2x₂ - 3x₃ + 6

Таким образом, любое значение x₂ и x₃, которые мы выберем, будет определять значение x₁, и эти значения будут удовлетворять исходной системе линейных уравнений.

Например, если мы выберем x₂ = 0 и x₃ = 0, то получим:

x₁ = 2 * 0 - 3 * 0 + 6 = 6

Таким образом, одно из возможных решений системы линейных уравнений будет x₁ = 6, x₂ = 0 и x₃ = 0.

Также, если мы выберем x₂ = 1 и x₃ = 2, то получим:

x₁ = 2 * 1 - 3 * 2 + 6 = 1

Таким образом, другое возможное решение системы линейных уравнений будет x₁ = 1, x₂ = 1 и x₃ = 2.

Таким образом, система линейных уравнений совместна и имеет бесконечное множество решений.